Title: matalyza 1 NOFY151 / 1.3 derivace

Q: Definice derivace v bodě
A: Buď \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}, x_0\in \mathbb{R}\) a nechť existuje \(U(x_0)\subset D_f\).
- \(f\) má v \(x\) derivaci \(\equiv\) existuje \(\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}\)
- obdobně derivace zprava/zleva, existuje-li limita zprava/zleva

Q: Co znamená, že \(f\) je na \((a,b)\) ryze monotónní?
A: \(f\) je buď klesající, nebo rostoucí.

Q: Co znamená, že \(f\) je na \((a,b)\) monotónní?
A: \(f\) je na \((a,b)\) buď neklesající nebo nerostoucí.

Q: Definice rostoucí funkce
A: \(f:(a,b)\rightarrow\Bbb{R}\) je rostoucí na \((a,b)\), pokud platí \(\forall x_1,x_2\in (a,b):x_1\lt x_2\implies f(x_1)\lt f(x_2)\)

Q: Co říká věta o derivaci a spojitosti fce?
A: Pokud má fce v bodě \(x\) vlastní derivaci, je v tomto bodě spojitá.

Q: Napiště větu o derivaci inverzní fce.
A: Nechť \(x_0 \in \Bbb{R}\) a \(f : \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}\) splňuje:
(i) existují \(\alpha, \beta_1, \beta_2 > 0\) taková, že \(f\) je prosté na \((x_0 − α, x_0 + α)\) a zobazuje tento interval na \((f(x_0) − β_1, f(x_0) + β_2)\)
(ii) existuje vlastní nenulová \(f'(x_0)\)
(iii) \(f^{−1}\) je spojitá v bodě \(y_0 = f(x_0)\).
Pak existuje derivace \(f^{−1}\) v bodě \(y_0\) a platí
\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}\).
Lze taktéž upravit pomocí vztahu \(y_0 = f(x_0)\).