Title: matalyza 1 NOFY151 / 3.1, 3.2 nevlastní lim, o, O

Q: Jak se čte a co znamená \(f=o(g)\) pro \(x=a\)?
A: \(f\) je malé o funkce \(g\) pro \(x=a\) \(\iff \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0\)

Q: Jak se čte a co znamená \(f=O(g)\) pro \(x=a\)?
A: \(f\) je velké o funkce \(g\) pro \(x=a\) \(\iff (\exists K>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in P_\delta(A))(|f(x)|\leq k|g(x)|)\)

Q: Jak se čte a co znamená \(f\sim g\) pro \(x=a\)?
A: \(f\) je slabě ekvivalentní s \(g\) pro \(x=a\) nebo \(f\) je řádově stejná jako \(g\) v \(x=a\) \(\iff \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}\in \Bbb{R}\setminus\{0\}\)

Q: Jak se čte a co znamená \(f\cong g\) pro \(x=a\)?
A: \(f\) je silně ekvivalentní s \(g\) pro \(x=a\) nebo \(f\) se chová jako \(g\) v \(x=a\) \(\iff \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=1\)

Q: Pro práci se symboly \(o, O, \sim, \cong\) se nám hodí dvě implikace, jaké?
A: 1. \(f=o(g) \implies f=O(g)\)
2. \(f\cong g \implies f\sim g \implies f=O(g) \land g=O(f)\)

Q: Napište l'Hospitalovo pravidlo.
A: Buď \(x_0 \in \Bbb{R}\). Jestliže
1. Existuje \(P\delta(x_0)\) tak, že \(\forall x \in P_\delta(x_0)\) existují vlastní \(f'(x),\ g'(x)\), a platí zde \(g'(x)\ne 0\),
2. Existuje \(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A\in\Bbb{R}^*\),
3. je splněno buď \(\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0\), nebo \(\lim_{x\rightarrow x_0} |g(x)| = +\infty\)
Potom
\(\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = A\)