Title: matalyza 1 NOFY151 / 5 Newton a Riemann

Q: Definujte zobecněnou primitivní funkci
A: \(F\) je zobecněná primitivní fce k \(f: \Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}\) na \((a,b)\subset \Bbb{R}\), jestliže platí:
- \(F\in C((a,b))\)
- \(F'(x) = f(x) \ \forall x\in (a,b) \setminus K\), kde \(K\subset(a,b)\) splňuje podmínku:
\(K\cap(-n,n)\) je konečná množina kdykoliv
\(n\in\Bbb{N}\).
(K je konečná na intervalu, tedy ZPF může nebýt definována třeba v celých číslech, kterých je na každém konečném intervalu konečně)

Q: Definujte Newtonův integrál
A: Buď
1. \(F\) zobecněná primitivní fce k \(f\) na \((a,b)\subset\Bbb{R}\)
2. Takzvaný přírůstek \([F]_a^b := \lim_{x\rightarrow b^-}F(x) - \lim_{x\rightarrow a^+}F(x) = F(b^-) - F(a^+) \in \Bbb{R}\) (neboli \([F]_a^b\) má smysl)
Pak definujeme Newtonův integrál \(f\) na \((a,b)\), značený
\((N)\int_a^b F(x) dx\), předpisem \((N)\int_a^b F(x) dx = [F]_a^b\)

Q: Napište hlavní větu diferenciálního a integrálního počtu.
A: Buď \(f\) omezená na \([a,b]\). Definujme
\(F(x) = F_a(x) = \begin{cases} 0 & x=a \\ (R)\int_a^x f(x)dx & x\in(a,b] \end{cases}\)
Pak platí:
1. \(F\) je spojitá v \([a,b]\)
2. Je-li \(f\) spojitá v \(x_0\in(a,b)\), pak \(F'(x_0)=f(x_0)\). (Totéž pro jednostrannou spojitost a derivace).
Speciálně, je-li \(f\) spojitá na \((a, b)\), pak \(F' = f\) na
\((a,b)\).

Q: Definujte dělení intervalu.
A: Buď \([a,b]\subset\Bbb{R}\). Dělením intervalu nazveme \(n+1\) reálných čísel \(x_i, i=0,1,...,n\), jestliže platí:
\(a=x_0<x_1<\dots<x_i<\dots<x_n=b\).

Q: Definujte normu dělení D
A: Buď \(D\) dělení intervalu \(I\). Norma dělení je číslo \(|D|=\max_{i=1,\dots,n}\{x_i-x_{i-1}\}\)

Q: Definujte zjemnění dělení \(D\)
A: Jsou-li \(D\) a \(D'\) dvě dělení intervalu \([a, b]\) a platí-li \(D ⊂ D'\), řekneme, že \(D'\) je zjemněním dělení \(D\).

Q: Definujte dolní a horní Riemannův součet.
A: Uvažujme \(f: [a,b] \rightarrow\Bbb{R}\) omezenou a \(D\) dělení \([a,b]\). Označme:
\(m_i=\inf_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)\) a \(M_i=\sup_{x\in[x_{i-1}, x_i]}f(x)\) kde \(i=1,2,\dots,n\).
Pak definujeme dolní/horní Riemannův součet \(s(D)/S(D)\) předpisem
\(s(D)=s(D,f)=\sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})\)
\(S(D)=S(D,f)=\sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1})\)

Q: Definujte dolní Riemannův integrál.
A: Buď \(f:[a,b]\rightarrow\Bbb{R}\) omezená na \([a,b]\).
Dolní Riemannův integrál \(f \) na \([a,b]\), značený \(\int_\underline{a\ \ }^bf(x)dx\), definujeme jako supremum dolních Riemannových součtů \(s(D)\), kde supremum bereme přes všechna dělení \(D\) intervalu \([a,b]\), tedy:
\(\int_\underline{a\ \ }^bf(x)dx = \sup_D s(D)\)

Q: Definujte Riemannův integrál
A: Řekneme, že \(f:[a,b]\rightarrow\Bbb{R}\) omezená má Riemannův integrál, zančený \((R)\int_a^bf(x)dx\), jestliže
 \(\int_\underline{a\ \ }^bf(x)dx=\int_a^\overline{b\ \ }f(x)dx\)