Title: matalyza 1 NOFY151 / 3.3, 3.4, limity posloupností

Q: Definujte posloupnost
A: Posloupnost je zobrazení \(\Bbb{N}\rightarrow \Bbb{C}\) (nebo \(\Bbb{R})\).

Q: Definujte limitu posloupnosti
A: \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\phi_n = A \iff (\forall \epsilon>0)(\exists n_0\in \Bbb{N})(\forall n\in \Bbb{N}: n>n_0)(\phi_n\in U_\epsilon(A))\)

Q: Napište Heineho větu
A: Buď \(f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R} (\Bbb{C}), x_0 \in \Bbb{R^*}, A \in \Bbb{R^*} (\Bbb{C^*})\). Potom platí
\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A \iff (\forall \{x_n\}\subset D_f\setminus\{x_0\}: \lim_{n \rightarrow +\infty} x_n = x_0)(\lim_{n \rightarrow +\infty} f(x_n) = A)\)

Q: Napište zesílenou Heineho větu
A: Buď \(f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R} (\Bbb{C}), x_0 \in \Bbb{R^*}, A \in \Bbb{R^*} (\Bbb{C^*})\). Potom platí
\(\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)\ \text{existuje} \iff (\forall \{x_n\}\subset D_f\setminus\{x_0\}: \lim_{n \rightarrow +\infty} x_n = x_0)(\lim_{n \rightarrow +\infty} f(x_n)\ \text{existuje})\)

Q: Napište Weierstrassovu větu
A: Z každé omezené reálné posloupnosti lze vybrat konvergující podposloupnost.

Q: Napište definici podposloupnosti.
A: Nechť \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\) je daná posloupnost a \(\{n_k\}_{n=1}^{\infty}\) je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost \(\{a_{n_k}\}_{n=1}^{\infty}\) nazveme podposloupností vybranou z \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\).

Q: Definujte Cauchyovskou posloupnost
A: Cauchyovská posloupnost je taková, která splňuje Bolzano-Cauchyho podmínku.

Q: Napište Bolzano-Cauchyho podmínku (pro fce i posloupnosti)
A: Pro fce:
\(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = A\in \Bbb{R}\ (\Bbb{C}) \iff (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x', x'' \in P_\delta(x_0):|f(x')-f(x'')|<\epsilon)\)
Pro posloupnosti:
\(\lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = A\in \Bbb{R}\ (\Bbb{C}) \iff (\forall\epsilon>0)(\exists n_0 \in \Bbb{N})(\forall n, m \geq n_0 : |a_n-a_m|<\epsilon)\)
Fce/posloupnost má vlastní limitu právě tehdy, pokud se na nějakém okolí/od nějakého n již libovolně málo mění.

Q: Napište definici hromadného bodu.
A: Nechť \(\{a_n\} \in \Bbb{R}\) je posloupnost. Číslo \(A \in R^∗\)
nazveme hromadným bodem, má-li \(\{a_n\}\) podposloupnost, která má za limitu \(A\).

Q: Napište definici limes superior
A: Mějme posloupnost \(a_n\).
\(\limsup_{n\rightarrow+\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}\sup\{a_k:k\ge n\}\)

Q: Napište Heineho definici spojitosti
A: \(\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \iff (\forall \{a_n\}_{n=1}^\infty \subset D_f \setminus \{x_0\}: a_n \rightarrow x_0 \implies f(a_n) \rightarrow f(x_0)\)