Title: matalyza 1 NOFY151 / 4.2 věty o střední hodnotě

Q: Napište Rolleovu větu o střední hodnotě.
A: Pro \(f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}\) platí:
Pokud
- \(f\in C([a,b])\)
- \(\forall x\in(a,b)\ \exists f'(x)\)
- \(f(a) = f(b)\)
Pak
\(\exists\xi\in(a,b): f'(\xi)=0\)

Q: Napište Lagrangreovu větu o střední hodnotě.
A: Pro \(f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}\) platí:
Pokud
- \(f\in C([a,b])\)
- \(\forall x\in(a,b)\ \exists f'(x)\)
Pak
\(\exists\xi\in(a,b): f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

Q: Napište Cauchyho větu o střední hodnotě.
A: Pro \(f, g: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}\) platí:
Pokud
- \(f, g\in C([a,b])\)
- \(\forall x\in(a,b)\ \exists f'(x), g'(x)\)
Pak
\(\exists\xi\in(a,b): f'(\xi)(g(b)-g(a))=g'(\xi)(f(b)-f(a))\)