Title: matalyza 1 NOFY151 / 4.3 konvexita konkavita

Q: Napište definici konvexity.
A: Buď \(J\subset\Bbb{R}\) interval a \(f:\Bbb{R}\rightarrow\Bbb{R}\). Řekneme, že \(f\) je na \(J\) konvexní, pokud \(\forall x,y,z\in J: x<y<z\) platí \(f(y)\le f(x)+\frac{f(z)-f(x)}{z-x}(y-x)\). Pokud je nerovnost navíc ostrá, mluvíme o ryzí konvexitě.

Q: Jak se dá zapsat \(y\) jako konvexní kombinace \(x\) a \(z\)? (parametrický zápis toho, že \(y\) leží na úsečce mezi \(x\) a \(z\))
A: \(y=\lambda x + (1-\lambda)z\) kde \(\lambda \in [0,1]\). Ekvivalentně, \(y=z+\lambda(x-z)\) (z tohoto zápisu je parametrizace úsečky patrná)

Q: Definujte asymptotu v nekonečnu.
A: Nechť \(f : \Bbb{R} → \Bbb{R}\) je definovaná na intervalu \((a, +∞) ⊂ R\). Řekneme, že přímka \(y = kx + q\) je asymptotou funkce \(f\) pro \(x → +∞\), jestliže \(\lim_{x→+∞}(f (x) − (kx + q)) = 0\). Analogicky definujeme asymptotu pro \(x → −∞\).