Title: matalyza 1 NOFY151 / 2 primitivní fce

Q: 1. Věta o substituci
A: Nechť:
- \(F\) je prim. fce k \(f\) na \(I=(a,b)\)
- \(\phi:(\alpha,\beta)\rightarrow_{do} (a,b)\)
- \((\exists \phi'(t)\in \mathbb{R})(\forall t \in (\alpha,\beta))\)
Pak
\(F\circ \phi\) je prim. fce k \(f(\phi(t))\phi'(t)\) na \((\alpha,\beta)\)

Q: 2. Věta o substituci
A: Nechť
- \(\Phi\) je prim. fcí k \((f\circ\phi)(\phi')\) na \((\alpha,\beta)\)
- \(\phi:(\alpha,\beta)\rightarrow(a,b)\) na a prostě (bijektivně)
- \(\forall t\in(\alpha, \beta)\exists\phi'(t)\neq 0\)
Pak
\(\Phi\circ\phi^{-1}\) je prim. fcí k \(f\) na \((a,b)\).

Q: Věta o jednoznačnosti primitivní funkce
A: 1) buď \(F,G\) primitivní funkce k \(f\) na \(I\). Pak \((\exists c \in \mathbb{C})(\forall x \in I)(F(x)=G(x)+c)\)
2) Je-li \(F\) primitivní funkce k \(f\) na \(I\), pak \(G=F+c;c \in \mathbb{C}\) je také primitivní fce k \(f\) na \(I\).

Q: Věta o spojitosti primitivní fce
A: Je-li \(F\) primitivní fce k \(f\) na \(I\), pak \(F\) je spojitá na \(I\).

Q: Věta o antiderivování součtu a skalárního násobku funkcí
A: Buď \(F,G\) primitivní fce k \(f,g\) na \(I\), buď \(c\in \mathbb{C}\). Pak
- \(F \pm G\) je primitivní fce k \(f\pm g\) na \(I\),
- \(cF\) je primitivní fce k \(cf\) na \(I\).

Q: Věta o integraci per partes
A: Buď \(f,g: I\rightarrow \mathbb{C}\). Pak platí \(\int{f'(x)g(x)}dx = f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)}dx\)

Q: Kdy se použije 1. věta o substituci?
A: Vidím (chci nalézt) \(\int{f(\phi(t))\phi'(t)\\\ dt}\)
a znám \(\int{f(x)\\\ dx}\) (znám \(F\) primitivní k \(f\) na \(I\))

Q: Definujte primitivní fci
A: Nechť jsou \(F, f: I\rightarrow \Bbb{C}\). Říkáme, že \(F \) primitivní fce k \(f\) na \(I\) pokud \((\forall x\in I)(F'(x)=f(x))\)

Q: Definujte k-krát spojitě diferencovatelnou fci
A: Budˇ\(f:(a,b)\rightarrow\Bbb{R}, k\in\Bbb{N}_0\).\(f\) je k-krát spojitě diferencovatelná na \((a,b)\), pokud je \(f^{(k)}\) spojitá na \((a,b)\). To pak píšeme \(f\in C^k((a,b))\)

Q: Co je to prostor \(C^\infty((a,b))\)?
A: Prostor nekonečněkrát spojitě diferencovatelných funkcí

Q: Definujte Darbouxovu vlastnost
A: Nechť \(f: \Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}, (a,b)\subset\Bbb{R}\). Řekneme, že \(f\) má na \((a,b)\) Darbouxovu vlastnost, pokud platí
\(a<x<y<b \ \land\ c\in (min\{f (x), f (y)\}, max\{f (x), f (y)\})\)
\(\implies \exists z\in(x,y): f(z)=c\)