Title: lingebra 1 NMAG111 / kapitola 5

Q: Co je to vektorový prostor V nad tělesem T?
A: Je-li \(T\) těleso, pak vektorovým prostorem \(V\) nad tělesem \(T\) rozumíme množinu \(V\) spolu s binární operací \(+\) na \(V\) (tj. \(+\) je zobrazení z \(V × V\) do \(V\) ) a operací \(·\) násobení prvků množiny \(V\) prvky tělesa \(T\) (tj. \(·\) je zobrazení z \(T\times V\) do \(V\) ), které splňují následující axiomy:
(vS1) vektorová asociativita - pro libovolné \(u, v, w ∈ V\) platí \((u + v) + w = u + (v + w)\).
(vS2) Existuje \(o ∈ V\)...
(vS3) Pro každé \(v ∈ V\) existuje \(−v ∈ V\)...
(vS4) vektorová komutativita
(vN1) Pro libovolné \(v ∈ V\) a \(a, b ∈ T\) platí \(a · (b · v) = (a · b) · v\).
(vN2) Pro libovolné \(v ∈ V\) platí \(1 · v = v.\)
(vD1) Pro libovolné \(v ∈ V\) a \(a, b ∈ T\) platí \((a + b) · v = a · v + b · v\).
(vD2) Pro libovolné \(u, v ∈ V\) a \(a ∈ T\) platí \(a · (u + v) = a · u + a · v\).

Q: Kdy je v.p. \(\textbf{U}\) podprostorem vekt.pr. \(\textbf{V}\) nad \(\textbf{T}\)?
A: pokud \(U \subset V\) a operace \(+, \cdot\) se shodují s příslušnými operacemi ve \(\textbf{V}\).

Q: Jak zapisujeme, že \(\textbf{U}\) je podprostorem \(\textbf{V}\)?
A: \(\textbf{U} \leq \textbf{V}\)

Q: Je-li \(\textbf{V}\) vektorový prostor nad tělesem \(T\), pak neprázdná podmnožina \(U\) množiny \(V\) je podprostorem \(\textbf{V}\) právě tehdy, když...
A: je uzavřená na sčítání a násobení skalárem, tedy na lineární kombinaci

Q: Je linární kombinace prázdného systému vektorů definována? Pokud ano, jak?
A: Ano, a to jako nulový vektor.

Q: Co je to lineární obal množiny \(X\subset V\), pokud \(\textbf{V}\) nad \(\textbf{T}\) je v.p.?
A: Je to množina všech lineárních kombinací prvků z \(X\), tj.
\(LOX = \bigg{\{}\sum_{i=1}^{n} t_iv_i: n\in \Bbb{N}_0,\ t_i \in \textbf{T},\ v_i \in X \bigg{\}}\)

Q: Co je to množina generátorů?
A: Nechť \(\textbf{V}\) je vektorový prostor nad \(\textbf{T}\) a \(X \subset V\). Pokud \(LOX=V\), pak \(X\) generuje (je množina generátorů) \(\textbf{V}\).

Q: Co je to sloupcový prostor matice \(A\) a jak ho značíme?
A: Pro \(A_{m\times n}\) je \(ImA=LO\{a_1, a_2, \dots, a_n\} \leq \textbf{T}^m\)

Q: Co je to řádkový prostor matice \(A\) a jak ho značíme?
A: \(ImA^T\)je \(LO\) množiny řádkových vektorů matice \(A\).

Q: Elementární řádkové úpravy nemění...
A: \(KerA, ImA^T\)