Title: lingebra 1 NMAG111 / kapitola 4

Q: Co je třeba splnit, aby se dvě matice rovnaly?
A: Musí být obě nad stejným tělesem, obě typu \(m\times n\) a musí platit \(a_{ij}=b_{ij}\)

Q: Definujte permutační matici
A: Má v každém řádku a v každém sloupci právě jeden prvek 1 a ostatní 0

Q: definice násobení matice a vektoru
A: Je-li A = (a1 |a2 | · · · |an ) matice typu m×n nad tělesem T a b = (b1 , b2 , . . . , bn )T
(sloupcový) aritmetický vektor s n-složkami z tělesa T, pak definujeme
součin matice A s vektorem b jako
Ab = b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an .

Q: Definice maticového násobení (sloupcový pohled)
A: Je-li \(A\) matice typu \(m × n\) a \(B = (b_1 |b_2 |\dots|b_p )\) matice typu \(n × p\), obě
nad stejným tělesem \(T\), pak součinem matic \(A\) a \(B\) rozumíme matici
\(AB = (Ab_1 |Ab_2 |\dots|Ab_p )\) ,
tj. j-tý sloupec součinu matic \(AB\) se rovná součinu matice \(A\) s j-tým
sloupcem matice \(B\). Součin \(AB\) má tedy typ \(m × p\).

Q: Součin matic \(A = (a_{ij})_{m×n}\) a \(B = (b_{jk})_{n×p}\) můžeme také spočítat po prvcích, jak?
A: \(AB_{ik}=\sum_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}=\tilde{a}^T_ib_k\)

Q: Pokud výraz \((BC)^T\) dává smysl, pak je roven...
A: \(C^T B^T\)

Q: Definujte elementární matici
A: Elementární matice řádu m je libovolná matice, kterou dostaneme z identické matice \(I_m\) jednou elementární řádkovou úpravou.

Q: Definujte zobrazení určené maticí
A: Je-li \(A\) matice typu \(m × n\) nad tělesem \(T\), pak definujeme zobrazení \(f_A :T^n → T^m\) určené maticí \(A\) předpisem
\(f_A (x) = Ax\)
pro každý aritmetický vektor \(x ∈ T^n\) .

Q: Definujte regulární matici
A: Čtvercová matice \(A\) nad tělesem \(T\) řádu \(n\) se nazývá regulární, pokud
je zobrazení \(f_A : T^n → T^n\) určené maticí \(A\) vzájemně jednoznačné (tj. bijekce).

Q: Jak se nazývá čtvercová matice, která není regulární?
A: singulární