1. Definujeme funkci f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} předpisem

    f(x) = \begin{cases} \exp(x^2 + \frac{1}{x}) & \text{pro} \space x \ne 0, \\ 0 & \text{pro} \space x = 0, \end{cases}

    kde \exp(\cdot) označuje exponenciální funkci.

    1. [3 b.] Rozhodněte, zda je tato funkce spojitá v bodě 0, případně zda je v tomto bodě aspoň spojitá zleva či zprava.

    2. [3 b.] Najděte všechny lokální a globální extrémy této funkce a určete, o jaký druh extrému se jedná (zda globální či jen lokální, zda minimum nebo maximum).

    3. [4 b.] Je tato funkce konvexní či konkávní na intervalu (0, +\infty)? Je tato funkce konvexní či konkávní na \mathbb{R}?

 

    1. [3 b.] Zformulujte větu o dvou policajtech pro limity posloupností. Nemusíte ji dokazovat.

    2. [4 b.] Nechť (a_n)_{n=0}^{\infty} je posloupnost čísel. Definujeme posloupnost (b_n)_{n=0}^{\infty} předpisem

      b_n = \frac{1}{3}\left(a_n + a_{2n} + a_{3n}\right)

      Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:
      "Pokud má posloupnost (a_n)_{n=0}^{\infty} vlastní limitu L, pak i posloupnost (b_n)_{n=0}^{\infty} má nutně tutéž limitu L."

    3. [3 b.] Definujeme posloupnost (a_n)_{n=0}^{\infty} vztahem

      a_n = \frac{\ln(n^2-(-1)^n)}{n}.

      Rozhodněte, zda má tato posloupnost limitu, a případně určete její hodnotu.

 

    1. [2 b.] Definujte, co znamená, že funkce f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} je spojitá v bodě A \in \mathbb{R}.

    2. [3 b.] Zformulujte Bolzanovu větu, která mluví o nulových hodnotách funkce.

    3. [5 b.] Dokažte tu větu.

 

    1. [3 b.] Najděte příklad funkce f\colon (0, 1) \to \mathbb{R}, která není na (0, 1) newtonovsky integrovatelná, ale funkce (f(x))^2 na (0, 1) newtonovsky integrovatelná je. Nezapomeňte zdůvodnit, proč má vaše funkce požadované vlastnosti.

    2. [3 b.] Zformulujte pravidlo 'per partes' pro výpočet primitivní funkce. Nemusíte ho dokazovat.

    3. [4 b.] Najděte primitivní funkci k funkci f(x) = |x| \cdot e^x na \mathbb{R}. (Dejte pozor, aby vámi nalezená primitivní funkce opravdu fungovala na celém \mathbb{R}, tedy i v okolí nuly.)