Matfyz Wiki
Definujte pojem jádro matice
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice
A = \left(\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 2 & -3\\1 & 2 & 2 & 1\\2 & 7 &6&7\end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrrr}3 & -1 & -1 & 1\\2 & 2 & -3 & 0\\1 & 5 &-5&-1\end{array}\right)
Rozhodněte, zda Ker(A^{T}) = R (B^{T}).
Rozhodněte, zda Ker(B) = R (A).
Máme polynomy
v_{1} = x^{2} + x - 2, v_{2} = -2x^{2} + 3, v_{3} = 2x^{2} + x. Uvažujme dvě lineární zobrazeníf,g: P^{2} \to R^{3}zadaná:
f(v_{1})=(1,0,0)^{T},\quadf(v_{2})=(0,1,0)^{T},\quadf(v_{3})=(0,0,1)^{T}g(v_{1})=(1,2,3)^{T},\quadg(v_{2})=(1,-2,1)^{T},\quadg(v_{3})=(2,3,1)^{T}
Spočítejte matici [ g \circ f^{-1} ]_{kan \to B} kde B je báze skládající se z vektorů (1,1,-2)^{T}, (-2,0,3)^{T}, (2,1,0)^{T}.
Rozhodněte, zda g \circ f^{-1} zobrazuje lineárně nezávislou množinu vždy zase na lineárně nezávislou množinu
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravidvá:
a) Buď A dolní trojůhelníková matice. Pak A^{T}A je zase dolní trojúhelníková matice.
b) Každou permutaci na n prvcích lze zapsat jako složení maximálně n - 1 transpozic.
c) Buď A \in R^{m \times n}. Pak rank(A) = m \Leftrightarrow Ker(A) = {0}
d) Lineární zobrazení f : U \to V je "na", právě tehdy když libovolnou bázi U zobrazí na bázi V