Matfyz Wiki
1. Definujte pojem těleso, zformulujte a dokažte větu "Jedna rovnost stačí" (7+1b)
2. Uvažujme dva podprostory P^{2}:
U = \{(a-b+4c) x^{2}, (a+3c) x, (a+2b+c); a,b,c \in \mathbb{R}\}V = \{ (t-s) x^{2}, (t-s) x, (t+s); t,s \in \mathbb{R} \}
(a) Rozhodněte, zda U,V jsou izomorfní. Pokud ano, najděte izomorfismus. (2b)
(b) Určete dimenzi a najděte bázi U+V (3b)
(c) Určete \dim(U \cap V) (1b)
3. Najděte vektor v \in \mathbb{R}^{3} tak, aby (1,2,3) \in Ker(f) pro lineární zobrazení definované: (6b)
f(1,1,2) = v,f(1,1,0) = (1,1,0)^{T},f(2,1,1) = (3,1,2)^{T}.
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá (po 2b):
(a) Čtevrcová matice řádu 10 tvořená z navzájem různých čísel je vždy regulární
(b) Buďte U,V podprostory prostoru W s bázemi B_{U} = \{ u_{1}, ... , u_{m} \}, B_{V} = \{ v_{1}, ..., v_{n} \}.
Pokud U \cap V = {o}, pak vektory u_{1}, \ldots, u_{m}, v_{1}, \ldots, v_{n} jsou lineárně nezávislé.
(c) Buď f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{5} lineární zobrazení. Pak f není na.
(d) Buď V konečně generovaný vektorový prostor a f: V \to V lineární zobrazení.
Pak f je na pokud obraz libovolné lineárně nezávislé množiny je lineárně nezávislá množina.