Matfyz Wiki
Varianta A :
Formulujte a dokažte Steinitzovu větu o výměně.
Nad tělesem
\mathbb{Z}_{5}uvažujme
A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 1\\2 & 1 & 2\\1 & 3 & 2\end {array}\right),\quad
B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 3 & 0\\2 & 0 & 1\\4 & 2 & 0\end{array}\right)
Určete dimenzi a najděte bázi prostoru matic V = \{X \in \mathbb{Z}_{5}^{3\times3} | AX = BX \}
Buď B báze
\mathbb{R}^{3}skládající se z vektorův_1 = {(1, -1, 1)}^{T}, v_2 = {(0, 1, -2)}^{T}, v_3 = {(1, -1, 0)}^{T}.
Uvažme zobrazení, které každému vektoru
x \in \mathbb{R}^{3}se souřadnicemi[x]_B = (\alpha, \beta, \gamma)přiřadí vektor{\alpha}v_1 + {\beta}v_2. Ukažte, že toto zobrazení je lineární a najděte jeho matici vzhledem ke kanonické bázi.Dokažte, že každý vektor
x \in \mathbb{R}^{3}se dá jednoznačně rozepsat jakox = y + z, kdey \in span(x_1, v_2)az \in span(v_3).
4)Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá :
Je-li
A, B, C \in \mathbb{R}^{n{\times}n}aABC = I_n, pak takéCAB \in I_n.Buďte
U, VpodprostoryW,u_1,\ldots,u_nbázeUav_1,\ldots,v_mbázeV. Potomu_1,\ldots,u_n,v_1,\ldots,v_mje bázeU+V.Pro každou matici
A \in \mathbb{R}^{n{\times}n}ak \in \mathbb{N}platírank(A^k) \geq rank(A^{k+1}).Buď
f:\mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}lineární zobrazení, jehož matice vůči nějaké bázi má hodnostm. Potomfje prosté.
Za případné překlepy se omlouvám.
