Matfyz Wiki
Byly alespoň dvě varianty, všechny otázky se lišily, ale byly principem podobné. Proto píšu jenom otázku 1 v obou variantách.
1. (varianta A)
Definujte pojem regulární matice (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o matici složeného lineárního zobrazení. (7 bodů)1. (varianta B)
Definujte pojem znaménko permutace. (1 bod)
Zformulujte a dokažte větu o maticové reprezentaci lineárního zobrazení. (7 bodů)2. (varianta B)
BuďA = \begin{pmatrix} 2 + 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
(a) Nad kterým tělesem typu \mathbb{Z}_p, p \geq 3, platí (1, 1, 1)^T \in \text{Ker}(A^3)? (3 body)
(b) Nad kterým tělesem typu \mathbb{Z}_p, p \geq 3, platí (1, 2, 1)^T \in \text{Ker}(A^T) \cap \mathcal{R}(A^{88})? (3 body)
3. (varianta B)
Najděte dva různé vektoryx, y \in \mathbb{R}^3takové, žef(x) = f(y) = (0, -1, 2)^Tpři lineárním zobrazeníf : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3definovaném maticí{}_{kan}[f]_B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}a bází $B = {(4, 4, 2)^T, (2, 1, 1)^T, (3, 2, 1)^T}$ . (6 bodů)4. (varianta B)
Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá: (4x 2 body)
(a) Buď A \in \mathbb{R}^{m \times n} a buď b, c \in \mathbb{R}^n. Soustava Ax = b má jediné řešení právě tehdy, když soustava Ax = c má jediné řešení.
(b) Je-li součin AB čtvercová matice a ABAB také, potom obě matice A a B musí být rovněž čtvercové.
(c) Buďte U, V, W podprostory nějakého vektorového prostoru. Pak U \cap (V + W) \supseteq (U \cap V) + (U \cap W).
(d) Prostory \mathcal{S} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} a \{(a + b, a - b, 2a - 3b)^T \in \mathbb{R}^3; a, b \in \mathbb{R} \} jsou isomorfní.