a) Definujte odstupňovaný tvar matice. (1)
b) Definujte sloupcový a řádkový prostor matice. (1)
c) Dokažte, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v odstupňovaném tvaru jsou stejné. (2)
d) Dokaže, že dimenze sloupcového a řádkového prostoru matice v obecném tvaru jsou stejné (2)

Nechť V= \begin{pmatrix} v_1, v_2, \dots, v_n \end{pmatrix} je báze vektorového prostoru Z. Pro každé i=1, \dots, n, nechť w_i=v_1 + v_2 + \dots + v_i.
a) Dokažte nebo vyvraťte: W= \begin{pmatrix} w_1, w_2, \dots, w_n \end{pmatrix} je také báze vektorového prostoru Z. Je-li W báze, určete matici přechodu A od báze W k bázi V a matici přechodu B od báze V k bázi W. (4)
b) Dokažte nebo vyvraťte: X= \begin{pmatrix} w_1 - w_n, w_2 - w_1, w_3 - w_2, \dots, w_n - w_{n-1} \end{pmatrix} je také báze vektorového prostoru Z. Určete matici přechodu C od báze V k bázi X a matici přechodu D od báze X k bázi V. (4)

Uvažme matici \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 6 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix} s prvky tělesa \Z_7 a označme h její hodnost.
a) Určete, kolik je h. (2)
b) Pokud to je možné, vyberte h sloupců matice A tak, aby tvořili bázi sloupcového prostoru matice A; vybrané sloupce označte v_1, \dots, v_h (3)
c) Pokud to je možné, mezi prvními čtyřmi sloupci matice A jich vyberte h - 1 tak, aby společně s posledním sloupcem tvořily bázi sloupcového prostoru matice A; vybrané sloupce označte w_1, \dots, w_{h-1} (3)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Je-li (T, +, *) těleso a u je neutrální prvek vzhledem k operaci + a v je neutrální prvek vzhledem k operaci *, pak se může stát, že u=v. (2)
b) Vektorové prostory \Reals^3 a \Z_5^3 jsou izomorfní (2)
c) Řešení soustavy Ax=b tvoří vždy vektorový prostor, jehož dimenze je rovna hodnosti matice A. (2)
d) Jsou-li u a v dva nenulové lineárně závislé vektory z vektorového prostoru \Z_2^5, pak u=v. (2).