a) Definujte pojem báze vektorového prostoru (2)
b) Definujte pojem spojení U + V vektorových podprostorů U a V vektorového prostoru W. (2)
c) Přesně zformulujte a dokažte větu o dimenzi spojení a průniku vektorových podprostorů. (6)

Uvažte matici A typu 3 \times 3, \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & \alpha & 3 \\ 3 & \alpha & 2 \end{pmatrix}, kde \alpha \in \Reals
a) Určete, pro které hodnoty \alpha \in \Reals je matice A regulární. (2)
b) Pro hodnotu \alpha \in \Reals takovou, že matice A není regulární, určete dimenzi n vektorového prostoru K= \{x \in \Reals^3: Ax=0\} a popište nějaký izomorfismus f: K \rarr R^n (4)

a) Napište definici tělesa. (2)
b) Nechť U = \Z_6 \times \Z_6 a nechť operace \oplus a \otimes jsou definovány následujícím způsobem:
(a, b) \oplus (c, d) = (a + c \mod 6, b + d \mod 6)
(a, b) \otimes (c, d) = (ad + bc \mod 6, cd \mod 6)
Určete, zda U s takto definovanými operacemi tvoří těleso. Pokud si myslíte, že ano, napřed určete, co jsou neutrální prvky U vůči \oplus a \otimes. (4)

Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Nechť f: V \rarr W a g: W \rarr Z jsou lineární zobrazení. Pak pokud je g \circ f izomorfismus, je f i g nutně také izomorfismus. (2)
b) Je-li f: U \rarr V lineární zobrazení a \begin{pmatrix} b_1, b_2, \dots, b_n \end{pmatrix} je báze vektorového prostoru U, potom vektory f(b_1), \dots, f(b_n) tvoří systém generátorů vektorového prostoru f(U). (2)
c) Je-li A čtvercová matice n \times n hodnosti n, pak sloupcový prostor matice A je roven řádkovému prostoru matice A. (2)
d) Je-li V vektorový prostor a U_1, U_2 jeho podprostory, pak v některých případech může být průnik U_1 \cap U_1 podprostor V, ale obecně podprostorem být nemusí. (2)