1. a) Buď M vektorový prostor všech racionálních matic typu 2 \times 2. Najděte nějakou jeho bázi B a určete dimenzi (2)
   b) Najdetě ještě další bázi C téhož vektorového prostoru M, a takovou, že neobsahuje žádný prvek z báze B. (2)
   c) Najděte matici přechodu _CM_B od báze B k bázi C, a matici přechodu _BM_C od báze C k bázi B (4)

2. Napište a dokažte Steinitzovu větu. V jejím důkazu můžete použít tzv. Lemma o výměně, které nemusíte dokazovatů pokud toto lemma budete používat, je potřeba ho přesně zapsat. (6).

3. a) Napiště definici tělesa. (2)
   b) Uvaže čtyřprvkovou množinu F = \{0, 1, x, y\} a na ní dvě binární operace + a \cdot definované následujícím způsobem: \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline +_{} & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline 0 & 0 & 1 & x & y \\ \hline 1 & 1 & 0 & y & x \\ \hline x & x & y & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 1 & x & y \\ \hline \end{array} \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline \cdot & 0 & 1 & x & y \\ \hline \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & x & y \\ \hline x & 0 & x & y & 1 \\ \hline y & 0 & y & 1 & x \\ \hline \end{array} Rozhodněte, zda trojice (F, +, \cdot) je tělesem. (6)

4.Které z následujících výroků jsou správně? Zdůvodněte.
a) Pro matice A \in \Reals^{n \times k} platí: je-li AB=0, pak S(B) \sube Ker(A) (symbol S(B) označuje sloupcový prostor matice B, symbol Ker(A) jádro matice A, a 0 zde označuje nulovou matici typu m \times k). (2)
b) Je-li V vektorový prostor dimenze n, pak libovolných n lineárně nezávislých vektorů tvoří bázi V. (2)
c) Soustava Ax=b má řešení právě tehdy když, když hodnost A je rovna hodnosti (A|b) (kde (A|b) značí matici A, ke které je přidán jako další sloupec vektor b). (2)
d) Je-li f: U \rarr V lineární zobrazení a B báze prostoru U, potom obraz B tvoří bázi prostoru f(U). (2)