Zkouška Kolman 27.5. 2025 A

Co víte o vlastních vektorech příslušných k různým vlastním číslům dané matice? Přesně formulujte a dokažte. (15)
Rozhodněte, zda matice C = \begin{pmatrix} -7 & -4 & -8 \\ 4 & 3 & 4 \\ 8 & 4 & 9 \end{pmatrix} a D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix} jsou podobné. (15)
a) Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem. (5)
b) Nechť A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Najděte matici B a diagonální matici D takové, že BAB^T = D. (10)
Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Determinant matic A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 16 & 15 & 14 & 13 \end{pmatrix} a B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} je stejný. (5)
b) Pro každé dvě matice A, B (typu n \times n) komplexních čísel platí: Jsou-li \lambda_1,...,\lambda_n vlastní čísla matice A a \lambda_1',...,\lambda_n' vlastní čísla matice B (každé vlastní číslo bereme s jeho algebraickou násobností), pak \lambda_1 \cdot \lambda_1',...,\lambda_n \cdot \lambda_n' jsou vlastní čísla matice (AB). (5)
c) Kvadratická forma f(x) = x^T\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}x na \mathbb{R}^2 nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru x = (0,0)^T. (5)