Matfyz Wiki

14. 9. 2017 - Hladík

Sejsel at 2017-11-11 18:11:27

  1. Zformulujte a dokažte Gramovu-Schmidtovu ortogonalizaci [7 bodů]
    Definujte pojem bilineární forma [1 bod]

  2. Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice [6 bodů]
    A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & -3 & 4 \\0 & 4 & 3 \\\end{pmatrix}

  3. Pro polynom p(x) = (x-1)^n

  4. najděte matici společnici C_p [2 body]

  5. najděte Jordanův normální tvar C_p [2 body]

  6. najděte všechny vlastní vektory C_p

  7. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

  8. Matice projekce na přímku \text{span}(u), kde u \in \mathbb{R}^n, ||u||_2 = 1, je rovna uu^T.

  9. Jsou-li matice A, B podobné, pak \text{rank}(A) = \text{rank}(B).

  10. Každou positivně definitní matici A lze rozložit A = LL^T, kde L je dolní trojúhelníková matice se zápornou diagonálou.

  11. Pro každou regulární matici A platí \det(AA^TA^{-1}) = 1