18.6.2015 - Hladík

Zadaní A

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti. 7
   Definujte ortogonální matici. 1

2. Uvažujme skalární součin \left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay, kde
   A = \begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&6\end{pmatrix}
   V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi \mathbb{R}^n. 6

3. Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice
   A = \begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&4\\0&4&3\end{pmatrix}. 6

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

   1. Čtvercové matice A řádu n takové, že \text{det}(A) = 1, tvoří s maticovým násobením grupu. 2

   2. Má-li matice A vlastní číslo \lambda, pak matice A^2 - 7A + 5I, má vlastní číslo \lambda ^2 - 7 \lambda + 5. 2

   3. Buď A \in \mathbb{R}^{n \times n} regulární. Pak A i A ^{-1} mají stejnou Jordanovu normální formu. 2

   4. Je-li A pozitivně definitní matice, pak \text{adj}(A) je také pozitvně definitní. 2

Zadaní B

1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic.7
   Zformulujte Cauchyho-Schwarzovu nerovnost.1

2. Uvažujme skalární součin \left\langle x,y\right\rangle = x^T Ay, kde
   A = \begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&1\\1&1&3\end{pmatrix}
   V tomto skalárním součinu najděte ortonormální bázi \mathbb{R}^n. 6

3. Určete matici projekcí na všechny přímky ve směrech vlastních vektorů matice
   A = \begin{pmatrix}1&6&0\\3&1&0\\0&0&7\end{pmatrix}. 6

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

   1. Čtvercové matice A řádu n takové, že \text{det}(A) = \pm 1, tvoří s maticovým násobením grupu. 2

   2. Má-li matice A vlastní vektor x, pak matice A^2 - 7A + 5I, má vlastní vektor x. 2

   3. Buď A \in \mathbb{R}^{n \times n} regulární. Pak A mají stejný počet Jordanových buněk ve svých Jordanových normálních formách. 2

   4. Matice projekce při standardním skalárním součinu je vždy pozitvně semidefinitní. 2

Hodnocení
1 \geq 21
2 \geq 17
3 \geq 12
4 \geq 7
5 \geq -\infty

Hodnocení bez záruky, počty jsou před ústní částí.

Statistika přihlášení
Via petrroll

5 dní před zkouškou: přihlášených 56 / 56 lidí, několik čeká na uvolnění
4 dni před zkouškou: přihlášených 54 / 56 lidí
1 den před zkouškou: přihlášených 40 / 56 lidí
ráno před zkouškou: přihlášených 36 / 56 lidí

Ústní na doopravu bylo tentokráte speciální. Namísto klasického vytáhnutí věty / důkazu si člověk vylosoval téma a měl k němu nakreslit mind-mapu souvisejících pojmů. Prakticky se čekala tak nějaká střední velikost + když byl člověk na hraně, tak si ještě většinou mohl vybrat jeden důkaz ze svého orkuhu a ten dokázat.

Obecně to mělo dost nadprůměrnou úspěšnost. Přesné statistiky neznám, ale co jsem viděl, tak to bylo ok.