5.6.2014 Hladík

Skupina A:

1. Zformulujte a dokažte větu o Sylvestrově zákonu setrvačnosti.

2. Najděte matici projekce na přímku p=span \{ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \end{array} \right)^T \} při nestandartním skalárním součinu:
   <x,y>^*=4x{}_1y{}_1-2x{}_1y{}_3+x{}_2y{}_2-2x{}_3y{}_1+5x{}_3y{}_3

3. Buď
   A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\2 & 0 & 2 \\1 & 2 & 1 \end{array} \right) a) Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A.
   b) Rozhodněte zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor x=( \begin{array}{ccc}3&-1&1 \end{array})^T

4)Rozhodněte a zdůvodněte:
a) Buď V podprostor R^n a u{}_1,...,u{}_n jeho ortonormální báze. Pak matice projekce V má tvar P= \sum\limits_{i=1}^m u{}_iu{}_i^T b) Pro prostory U,V,W platí že V \subset W(doplněk) U(doplněk) \subset V, potom W \subset U
c) Jsou-li matice A^{-1}, B^{-1}$ podobné, pak si jsou matice A, B podobné.
d) Buď A positivně semidefinitivní matice řádu n. Přičteme-li ke keždému prvku A jedničku dostaneme positivně definitivní matici.

Skupina B:

1. Zformulujte a dokažte Gram-Schmidtovu ortogonalizaci

2. Najděte matici projekce na přímku p = span\{(3,2,1)^T\} při nestandardním skalárním součinu \langle x,y\rangle^* = x_1y_1 - 2x_1y_2 - 2x_2y_1 + 5x_2y_2 + 4x_3y_3

3. A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&3&1\\1&1&1\end{pmatrix} a) Najděte vlastní čísla \lambda_1,\lambda_3,\lambda_3 a odpovídající vlastní vektory
   b) Rozhodněte, zda mocninná metoda bude konvergovat pro počáteční vektor x = (3,1,1)^T

4. Rozhodněte a zdůvodněte, která tvrzení jsou pravdivá
   a) V podprostor \mathbb{R}^n, u_1, ..., u_m jeho ortogonální báze. Pak matice projekce do V má tvar P = \sum\limits_{i=1}^{m}u_iu_i^T] b) Pro prostory U,V,W platí, že pokud U\subseteq V^\perp, tak W\subseteq U^\perp c) Jsou-li regulární matice A,B podobné, pak i A^{-1},B^{-1} jsou podobné
   d) Pro každé A, B \in\mathbb{R}^{n\times n} je matice A(A + B^T)(A^T + B)A^T positivně semidefinitní.