Hubáček

1. Definujte vlastní číslo. [1]

2. Formulujte a dokažte Sylvestrův zákon setrvačnosti. [4]

3. V \mathbb{R}^4 mějme dva vektory: (1,-1,1,-1)^T, (0,2,0,2)^T. Vypočítejte ortogonální bázi prostoru, který tyto dva vektory generují. Poté vektory doplňte na celý \mathbb{R}^4 a dopočtěte ortogonální bázi tohoto doplněného prostoru. [3]

4. Mějme definované zobrazení D: \mathcal{P}^n \rightarrow \mathcal{P}^n jako derivaci. Dokažte, že D je lineární zobrazení a rozhodněte zda existuje báze prostoru \mathcal{P}^n, vůči které je matice tohoto zobrazení regulární. [2]

Poznámka: \mathcal{P}^n značí prostor všech reálných polynomů proměnné x stupně nejvýše n.