Zkouška Lineární algebra 2   11/6/2025 skupina B

Prosím:

  • pište čitelně,

  • nezapomínejte každý list podepsat,

  • nepoužívejte pomůcky jako skripta, poznámky z přednášky, kalkulačky a podobně,

  • a vypněte všechny pípáky, které s sebou máte.

Odpověď u každého příkladu zdůvodněte, například pouhý numerický výsledek bez objasnění postupu je téměř bezcenný.

  1. a) Určete charakteristický polynom p_A(x) matice A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3\\ -3 & 7 & 3\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} a rozhodněte, která z čísel 1, -2 patří mezi jeho kořeny.

    b) Pokud existuje, najděte matici R a diagonální matici D tak, aby platilo RDR^{-1} = A.

    c) Pokud existuje, najděte matici P a diagonální matici C tak, aby platilo P\kern{0.05em}C P^T = A, a rozhodněte, zda je možné najít P ortogonální.

    15 Myslím, že to hodnotili 5, 5, 5

 

  1. Definujte pozitivně definitní matice. 5

    Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. 10

 

  1. a) Uveďte definici obecného skalárního součinu v aritmetickém vektorovém prostoru V = \mathbb{R}^n. 5

    b) Nechť U je lineární obal vektoru b_1 = (1, 1, 1)^T ve vektorovém prostoru V = \mathbb{R}^3, a nechť C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku U, vzhledem ke skalárnímu součinu \braket{u\,|\,v} = u^TCv, takovou, že každé dva různé vektory této báze jsou na sebe kolmé. 10

 

  1. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

    (a) Pro každou kvadratickou formu g: V \to \mathbb{R} existuje taková báze, že matice g vůči této bázi je diagonální. 5

    (b) Pro každou symetrickou reálnou čtvercovou matici a pro její libovolné vlastní vektory \bold{u} a \bold{v} platí, že jejich součet \bold{u} + \bold{v} je též vlastním vektorem této matice. 5

    (c) Nechť A \in \mathbb{R}^{n \times n} je symetrická matice s kladnou diagonálou a f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} je zobrazení definované pro každé u, v \in \mathbb{R}^n předpisem f(u, v) = u^TAv. Pak f(u, v) je skalární součin na \mathbb{R}^n. 5

 

K ústní pouštěl s 30 a více body.