K matici A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 \\ -3 & 7 & 3 \\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} najděte
a) ortonormální matici R a diagonální matici D tak, aby platilo RDR^{T}=A (10)
b) matici B tak, aby platilo B^{2}=A (pro jistotu zdůrazňuji, že matice B má opravdu splňovat B^{2}=A a nikoli B^{T}B = A) (5)

Definujte pozitivně definitní matice. (5)
Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. (10)

a) Uveďte přesně definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru V=R^{n}. (5)
b) Nechť U je lineární obal vektoru b_{1}=\begin{pmatrix} 1,1,1\end{pmatrix}^{T} ve vektorovém prostoru V=R^{3}, a nechť C=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku U, vzhledem ke skalárnímu součinu \braket{u|v} = u^{T}Cv, takovou, že každé dva její vektory u, v, u \neq v, jsou na sebe kolmé (opět vzhledem k výše uvedenému skalárnímu součinu) (10)

Pro každé následující tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Pro každou kvadratickou formu g: V \rarr \Reals existuje taková báze,že matice g vůči této bázi je diagonální. (5)
b) Pro každou matici a pro její libovolné vlastní vektory u a v platí, že jejich součet u + v je též vlastním vektorem této matice. (5)
c) Objem rovnoběžnostěnu (v \Reals^{3} se standardním skalárním součinem) daného vektory \begin{pmatrix} 1,2,3\end{pmatrix}^{T}, \begin{pmatrix} 3,4,5\end{pmatrix}^{T} a \begin{pmatrix} 1,7,3\end{pmatrix}^{T} je větší, než objem rovnoběžnostěnu daného vektory \begin{pmatrix} 1,3,1\end{pmatrix}^{T}, \begin{pmatrix} 2,4,7\end{pmatrix}^{T} a \begin{pmatrix} 3,5,3\end{pmatrix}^{T} (5)