Zkouška Kolman 23.5. 2025

1. Označme A_n matici n \times n, která má na hlavní diagonále a dvou sousedních diagonálách samé jedničky a všude jinde nuly, např. A_1 = (1), A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} atd. Dále označme D_n = det(A_n).

   (a) Vyjádřete D_n co nejjednoduššeji pomocí D_{n-1}, D_{n-2},... (5)

   (b) Spočítejte D_{1000} (5)

2. a) Definujte pojmy: podobné matice, diagonizovatelná matice. (5)

   b) Formulujte a dokažte větu popisující nutnou a postačující podmínku pro to, aby matice byla diagonizovatelná. (10)

3. a) Napište znění Sylvestrova zákona setrvačnosti kvadratických forem. (5)

   b) Mějme kvadratickou formu f (na vektorovém prostoru V = \R^3) danou předpisem f(x)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2+2x_2x_3+x_3^2 a nechť B je nějaká taková báze vektorového prostoru V, že f má vůči ní diagonální matici (není-li B jednoznačná, vyberte si libovolnou). Najděte matici přechodu od báze B ke kanonické bázi. (10)

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

   (a) Je-li A celočíelná matice a \det(A) je roven 1 nebo -1, pak A^{-1} je rovněž celočíselná. (5)

   (b) Pro každé dvě matice A,B typu n\times n platí: Součet vlastních čísel matice (A+B) je roven společnému součtu vlastních čísel matic A a B (5).

   (c) Má-li matice A jediný (až na násobky) vlastní vektor (1,0,0)^T, pak neexistuje A^{-1} (5)

Hodnocení: 1: 55 - 47, 2: 46 - 40, 3: 39 - 33, 3-: 32 - 28