Nechť A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix} Pokud existují, najděte následující rozklady:
a) A = RDR^{-1}, kde D je diagonální matice a R je libovolná matice (10)
b) U^{T}U, kde U je reálná horní trojúhleníková matice (5)

a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. (3)
b) Uveďte přesnou definici podobných matic. (3)
c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. (9)

Nechť U je podprostor vektorového prostoru \Reals^{4} generovaný vektory a = \begin{pmatrix} 1, 2, 2, 0 \end{pmatrix}^{T} a b = \begin{pmatrix} 0, 1, 2, 3 \end{pmatrix}^{T}. Najděte nějakou ortonotmální bázi ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujeme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu. (15)

Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.
a) Nechť Z \in \Reals^{n \times n} je symetrická matice s nezápornou diagonálou. Pak Z je pozitivně semidefinitní matice. (5)
b) Nechť g je bilineární forma na \Reals^{3} a A, B matice této formy vůči dvěma různým bázím. Pak det(A)=det(B). (5)
c) Kvadratická forma f(x) = x^{T} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} x na \Reals^{2} nabývá pouze záporných hodnot, s vyjímkou vektoru x = \begin{pmatrix} 0, 0 \end{pmatrix}^{T}. (5)