Zkouška Lineární algebra 2, 3. 6. 2025, skupina B

1. Označme A_n matici n \times n, která má na hlavní diagonále a na sousední horní diagonále samé jedničky, na sousední dolní diagonále samé minus jedničky a všude jinde nuly, např. A_1 = (1), A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}, A_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Dále označme D_n = \det(A_n).

(a) Vyjádřete D_n co nejjednodušeji pomocí D_{n-1}, D_{n-2}, \ldots.^1 (5)

(b) Spočítejte D_{11}. (5)

2.

a) Definujte pozitivně definitní matice. (5)

b) Formulujte a dokažte (alespoň) jednu další ekvivalentní podmínku na pozitivní definitnost matice. (10)

3.

a) Formulujte alespoň jednu nutnou a postačující podmínku pro to, aby byla matice diagonalizovatelná. (5)

b) Mějme lineární zobrazení f na vektorovém prostoru V = \mathbb{R}^3 dané předpisem f(x) = Cx, kde C = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\ -\frac{2}{3} & 2 & -\frac{2}{3} \\ 0 & -\frac{2}{3} & \frac{5}{3} \end{pmatrix}. Pokud existuje, najděte bázi B vektorového prostoru V, vůči které má lineární zobrazení f diagonální matici. (10)
POZN: Kolman řekl že jedno vlastní číslo je 1.

4. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

(a) Jsou-li A i A^{-1} celočíselné matice, pak |\det(A)| i |\det(A^{-1})| je 1. (5)

(b) Pro každé dvě matice A, B typu n \times n platí: Součin vlastních čísel matice AB je roven společnému součinu vlastních čísel matic A a B. (5)

(c) Má-li matice A jediný (až na násobky) vlastní vektor (1, 0, 0)^T, pak není diagonalizovatelná. (5)

^1 Nápověda: Laplaceův rozvoj