Zkouška Hladík 2. 6. 2025 A

  1. Zformulujte a dokažte větu o charakterizaci positivně definitních matic. (7)
    Definujte pojem bilineární forma. (1)  

  2. Co víte o tématu: Ortogonální matice.
    (definice, vlastnosti, odvození, použití, souvislosti) (6)  

  3. Symetrická matice A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} má vlastní čísla 1, 3, 6 a odpovídající vlastní vektory v_1, v_2, v_3. Dále víme, že matice projekce na \mathrm{span}\{v_1\} je

P = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

a matice projekce na \mathrm{span}\{v_1, v_2\} je

Q = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

(a) Určete vektory v_1, v_2, v_3. (4)
(b) Určete matici A. (2)

  1. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:

    (a) Buď V prostor se skalárním součinem a u, v \in V. Pak u lze rozepsat jako u = \alpha v + w pro vhodný vektor w \perp v a skalár \alpha. (2)

    (b) Matice A \in \mathbb{R}^{n \times n} je diagonalizovatelná právě tehdy, když má navzájem různá vlastní čísla. (2)

    (c) Buď A = LL^T Choleského rozklad matice A \in \mathbb{R}^{n \times n}. Je-li A_{n1} = 0, pak L_{n1} = 0. (2)

    (d) Buď A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. Pak existuje reálná matice S taková, že S^T A S = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}. (2)