Zkouška Kolman 24. 6. 2025 C

  1. Nechť A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & -2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}. Pokud existují, najděte následující rozklady:

    a) A = RDR^{-1}, kde D je diagonální matice a R je libovolná matice, (10)

    b) A = U^TU, kde U je reálná horní trojúhelníková matice. (5)

 

  1. a) Uveďte přesnou definici charakteristického polynomu matice. (3)

    b) Uveďte přesnou definici podobných matic. (3)

    c) Co víte o charakteristických polynomech podobných matic? Přesně formulujte a dokažte. (9)

 

  1. Nechť U je podprostor vektorového prostoru \mathbb{R}^{4} generovaný vektory a = (1, 2, 2, 0)^T a b = (0,1,2,3)^T

    a) Najděte nějakou bázi B ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu skalárnímu součinu. (8)

    b) Najděte nějakou ortonormální bázi C ortogonálního doplňku U; ortogonalitu uvažujte vzhledem ke standartnímu součinu. (7)

 

  1. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

    a) Nechť A, B \in \mathbb{R}^{n \times n} jsou pozitivně semidefinitní matice. Pak A a B mají stejnou signaturu. (5)

    b) Je-li v vlastním vektorem reálné matice A, pak v je také vlastním vektorem matice A-I (kde I označuje jednotkovou matici stejného řádu jako A). (5)

    c) Kvadratická forma f(x) = x^T \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} x na \mathbb{R}^{2} nabývá pouze záporných hodnot, s výjimkou vektoru x = (0,0)^T. (5)

Bodování:

  • 60–50 = 1

  • 42–49 = 2

  • 35–41 = 3

  • 30–34 = možná ústní

  • 0–29 = 4

Čas: 90 minut (bylo to málo)