Zkouška Kolman 4. 6. 2024

  1. a) Uveďte přesnou definici pozitivně definitních matic (5)

    b) Co víte o rozkladu pozitivně definitní matice A na součin dolní a horní trojúhelníkové? Přesně formulujte a dokažte. (Nevíte-li jak postupovat, uvažte rozklad matice A založený na násobení A zleva maticí odpovídající vhodné posloupnosti elementárních řádkových úprav) (10)

 

  1. (a) Spočtěte vlastní čísla a vlastní vektory matice A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. (5)

    (b) Existují vlastní vektory u, v, v matici A takové, že každé dva různé z nich jsou na sebe kolmé (vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu)? Pokud ano, najděte nějaké, pokud ne, zdůvodněte. (5)

    (c) Najděte bázi B vektorového prostoru \mathbb{R}^3 takovou, že matice kvadratické formy f dané předpisem: f(x) = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_2^2 + 2x_2x_3 + x_3^2 je vůči ní diagonální a navíc pouze s čísly 0, 1, -1. (5)

  2. (a) Uveďte definici skalárního součinu ve vektorovém prostoru V = \mathbb{R}^n. (5)

    (b) Nechť U je podprostor vektorového prostoru V = \mathbb{R}^3 generovaný vektorem b_1 = (1,1,1)^T. Najděte nějakou bázi ortogonálního doplňku U, vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu, takovou, že každé dva její vektory u, v, u \neq v jsou na sebe kolmé. (10)

  3. Pro každé z následujících tvrzení zdůvodněte, zda platí či neplatí.

    (a) Pro každé dvě čtvercové matice A a B platí: jsou-li A a B ortogonální matice, pak i AB je ortogonální matice. (5)

    (b) Pro matici C = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 3 & 5 & 2 & 7 \end{pmatrix} existuje rozklad C = U^T U, kde U je horní trojúhelníková matice. (5)

    (c) Pokud AS = S \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/3 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4 \end{pmatrix} , a S je regulární matice, pak 3/2, 4/3 a 5/4 jsou vlastní čísla matice (A + I). (5)