Matfyz Wiki
Dnešní zápočtový test:
Příklad 1. (13 bodů) Adam a Blanka si vymysleli sázku. V krabici je 10 bílých a 5 černých koulí. Adam z nich náhodně vybere 3 a vloží je (bez podívání na barvu) do osudí. Blanka má z osudí vytáhnout jednu kouli. Pokud bude bílá vyhrává Blanka a Adam ji dá 100 Kč.
Kolik má být sázka spravedlivá pro Blanku, tedy částka, kterou má Blanka vsadit, aby její střední výhra byla 0?
Blanka dostane možnost 30 krát vytáhnout a opět vrátit jednu kouli, přičemž se může podívat na barvu. Jak by mohla Blanka odhadnout, jakou má pravděpodobnost vytažení bílé koule?
Jaké je rozdělení Blančiny výhry?
Příklad 2. (13 bodů) V krabici se 100 výrobky je náhodný počet vadných výrobků. Víme, že tento počet má rozdělení (téměř) Poissonovo se střední hodnotou 9 a s rozptylem 9.
S jakou pravděpodobností máme takové štěstí, že ve 100 krabicích je méně než 855 vadných výrobků?
Jaká je střední hodnota a rozptyl bezvadných výrobků v krabici?
Kolik krabic bychom si měli koupit, abychom s pravděpodobností alespoň 0,9 měli nejméně 8000 bezvadných výrobků?
Příklad 3. (7 bodů) Krabice se čokoládou se balí automatické. Hmotnost (v kg) krabice X se řídí normálnímu rozdělení s parametry (1.06, \sigma^2). Víme, že \mathrm{P}(X \le 1) = 0.05. Spočtěte procento krabic, hmotnost kterých přesahuje 970 g.
Příklad 4. (7 bodů) Máme náhodný výběr z rovnoměrného na intervalu (0,p) rozdělení. Odhadněte parametr p momentovou metodou funkcí g_k(x) = x^k pro každé přirozené k. Vyšetřete vlastnosti takových odhadů.
Za každý příklad lze získat určený počet bodů, celkem 40.
Oddělujte, prosím, zřetelně jednotlivé otázky a jejich podotázky. Výsledky přehledně zapište. Podepište všechny odevzdané papíry a vyznačte jejich počet.