8. Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky

Sylabus

Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí.

Státní závěrečná zkouška

Soustava Maxwellových rovnic

K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny:

• intenzita elektrického pole $ \mathbf{E} $ a magnetická indukce $ \mathbf{B} $. V bodě prostoročasu je pole $ \mathbf{E,B} $ tehdy, je-li síla působící na testovací částici náboje $ q $ a hmotnosti $ m $ rovna

$ \mathbf{F} = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) \, . $

což je Lorentzova síla. Tento vztah je správný i z hlediska speciální teorie relativity. V STR platí pohybová rovnice pro částici:

$ \mathbf F = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) = \frac{d\left(\gamma m \mathbf v\right)}{dt} . $

Pole $ \bf E, B $ jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice ve vakuu pro ně zní

$ \mathrm{div}\, \mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0} , $

$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, , $

$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} , $

$ \mathrm{rot}\, \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}_v+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} . $

V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny

• elektrickou indukci $ \mathbf{D} $ a magnetickou intenzitu $ \mathbf{H} $. Ty jsou definovány vztahy

$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \quad \mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ), $

kde $ \varepsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2}\mathrm{F\,m^{-1}} \approx 8,85.10^{-12}\,\mathrm{F\,m^{-1}} $, $ \mu_0 = 4\pi.10^{-7}\,\mathrm{H\,m^{-1}} \approx 1,26.10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}} $ a veličiny $ \bf P, M $ jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu $ \Delta V $ a dipólového momentu $ \Delta \mathbf p $. Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu

$ \mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V} $

a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační $ \rho_p $) krát posunutí z rovnovážné polohy $ \Delta \mathbf p = \rho_p.\Delta V.\Delta \mathbf r $, dá se také vyjádřit jako

$ \mathbf{P} = \rho_p \Delta \mathbf r \, . $

Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu

$ \mathbf M = \frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}\, . $

Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky $ b $ o straně $ a $, vybranou tak, aby směr magnetického momentu $ \bf k $ byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu

$ \mathbf M = \frac{\Delta \mathbf m}{\Delta V} = \frac{\Delta I \Delta S \mathbf k}{\Delta V} = \frac{bj_S \mathbf k a^2}{ba^2} = j_S\mathbf k \, , $

tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu $ j_S $.

Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.

Diferenciální tvar

Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem

$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho_v \, , $

$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j_v}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \, , $

$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \, $

$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, . $

První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů $ \rho_v $, hustotou volných proudů $ \mathbf{j_v} $ a vektory elektromagnetického pole $ \mathbf{D} $ a $ \mathbf{H} $. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů $ \mathbf{E} $ a $ \mathbf{B} $.

Integrální tvar

V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby ($ Q $ je volný náboj v objemu ohraničeném plochou $ S $ a $ I $ je proud protékající plochou ohraničenou křivkou $ l $):

$ \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q \, , $

$ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, , $

$ \oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, , $

$ \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \, . $

První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.

Slovne sa dajú formulovať takto:

• zdrojem elektrické indukce jsou volné náboje

• neexistují volné magnetické náboje

• vírové elektrické pole je tam, kde se s časem mění vektor magnetické indukce

• vírové magnetické pole je tam, kde se s časem mění vektor elektrická indukce a pohybuje náboj

Maxwellovy rovnice jsou soustavou parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, obsahují 12 neznámých (navíc máme ještě materiálové vztahy a hraniční podmínky).

Elektromagnetické potenciály

Zavedení potenciálů

Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál $ \mathbf{A} $ a skalární potenciál $ \varphi $:
$ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A} $
$ \mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $

Zavedení $ \mathbf{A} $ podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.

Kalibrační transformace

Potenciály $ \mathbf{A} $ a $ \varphi $ nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace
$ \varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t} $
$ \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi , $
aniž by přitom došlo ke změně $ \mathbf{E} $ a $ \mathbf{B} $. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.

Lorentzova podmínka

Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka
$ \mathrm{div}\, \mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0, $
kde $ \varepsilon $ značí permitivitu a $ \mu $ permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici
$ \Delta \varphi -\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\varepsilon } $
$ \Delta \mathbf{A}-\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j} $

Zákony zachování

$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.

Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím, opravte to a doplňte.

Lokálnost zákonů zachování

Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak.

Příklad zachování elektrického náboje. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru). Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem.

Vztah proto pak je jednoduše (rovnice kontinuity)

$ \mathbf{\nabla \cdot j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} $.

Tzn. že zákon zachování musí platit lokálně, v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat, pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí.

Elegantní je to v STR: $ j^{\nu \mu}_{,\mu} = F^{\mu \nu}_{ ,\mu \nu} = 0 $, protože $ F^{\mu \nu} $ je antisymetrický, zatímco derivace jsou záměnné (tj. ve spodních indexech je to symetrický výraz). Připomínám $ j^\nu = (c \rho, j_x, j_y, j_z) $ a $ F_{\mu \nu}=A_{\nu, \mu} - A_{\mu, \nu} $ a $ A_\mu = (\frac{\Phi}{c}, A_x, A_y, A_z) $. $ c $ je rychlost světla, $ \rho $ hustota nábojů, $ \Phi $ skalární potenciál elektrického pole a $ A_x $ až $ A_z $ jsou složky vektorového potenciálu magnetického pole.

Zákon zachování energie pro EM pole

Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy hustota energie pole $ w $ a hustota toku energie pole $ \mathbf{S} $ spojena vztahem:

$ \frac{\partial w}{\partial t} = - \mathbf{\nabla \cdot S} $

Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky.

Časová změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu $ V $ a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje.

Lorentzova síla: $ \mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v \times B} \right). $

Práce za jednotku času: $ \mathbf{F \cdot v} = q \mathbf{E \cdot v} $

Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic $ N $ je $ Nq\mathbf{E \cdot v} = \mathbf{E \cdot j} $.

Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. $ P = UI $.

Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu $ V $ s hranicí $ \Sigma $

$ -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V w \mathrm{d}V = \oint_{\Sigma} \mathbf{S \cdot n}\mathrm{d}\Sigma + \int \mathbf{E \cdot j}\mathrm{d}V $

Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako

$ -\frac{\partial w}{\partial t} = \mathbf{\nabla \cdot S} + \mathbf{E \cdot j} $ $ \left(\heartsuit\right) $

Co jsou to ty w a S

Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko.

Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie $ w $ a tok hustoty energie $ \mathbf{S} $.

Dostaňme je jak jinak z Maxwellek.

Vezměme rovnici pro rotaci $ \bf B $ (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk):

$ \mathbf{j} = \varepsilon_0 c^2 \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial{t}} $

Vynásobíme-li skalárně $ \bf E $ dostaneme levou stranu $ \left(\heartsuit\right) $

$ \mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot} \frac{\partial E}{\partial{t}} $.

Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný.

$ \mathbf{\nabla \cdot}\left(\mathbf{B \times E}\right) = \mathbf{E \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \mathbf{B \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times E}\right) $. (bacha na znaménko)

S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme

$ \mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{\nabla \cdot} \left(\mathbf{B \times E}\right) + \varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times E}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot E} \right) $.

"$ \nabla \times E $ je naštěstí rovno" $ -\partial \mathbf{B} / \partial t $ a tedy

$ \mathbf{B \cdot (\nabla \times E)} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\mathbf{B \cdot B}}{2} \right) $

Takže $ \heartsuit $ přejde na

$ \mathbf{E \cdot j} = \mathbf{\nabla \cdot} \left(\varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \times E} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\varepsilon_0 c^2}{2}\mathbf{B \cdot B} + \frac{\varepsilon_0}{2} \mathbf{E \cdot E} \right) $,

kde už vidíme

$ w = \frac{\varepsilon}{2}\mathbf{E \cdot E} + \frac{\varepsilon_0 c^2}{2} \mathbf{B \cdot B} $,

$ \mathbf{S} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \times B} $.

Elektrostatika

Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole

Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=0 $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0 $
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 $

Poissonova a Laplaceova rovnice

Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice
$ \Delta \varphi =-\frac{\rho }{{\varepsilon }_{0}}, $
která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici
$ \Delta \varphi =0 $
(jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky).

Základní úloha elektrostatiky

Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru.

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě $ \mathbf{r} $ od náboje $ Q $ umístěného v $ \mathbf{r}' $

$ \mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'{|}^{3}}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right) $

Stacionární pole

Maxwellovy rovnice pro stacionární pole

Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j} $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0 $
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 $

Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou $ \rho $. Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota $ \mathbf{j} $.

Ohmův zákon

Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti $ \gamma $ vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:

$ \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E} \,. $

Měrná vodivost je spojena s měrným odporem $ \sigma $ vztahem

$ \gamma =\frac{1}{\sigma}. $

Odpor $ R $ vodiče délky $ l' $ a průřezu $ S' $ udává výraz

$ R=\sigma \frac{l'}{S'}. $

Vyjádřením elektrického proudu

$ I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}' $

a napětí

$ U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2} $

lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru

$ I=\frac{U}{R} . $

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru

$ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I $

a Biot-Savartův vzorec

$ \mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV', $

kde $ \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}' $, integrační proměnná je $ \mathbf{r}' $ a integruje se přes objem $ V $.

Kvazistacionární pole

Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole

Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy
$ \mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $

Maxwellovy rovnice tak mají podobu:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j} $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 $

Elektromagnetická indukce

Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí $ {U}_{F} $ ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok $ \Psi $, platí Faradayův indukční zákon
$ {U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt} $

Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.

V případě smyčky o ploše $ S'' $ nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát
$ {U}_{F}=-\int_{S''}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}'' $

Vhodné vztahy

Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí $ {U}_{F} $, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole $ {\mathbf{E}}_{F}^{\star } $.

Nestacionární pole

Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole

Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 $

Maxwellův proud

Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz $ \mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $, který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu

$ {\mathbf{j}}_{c}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}, $

kde první člen $ \mathbf{j} $ odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen $ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} $ přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen $ {\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $ je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud.

Vhodné vztahy

Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše):

$ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}. $

Užitečná literatura

• Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození, BEN - technická literatura, Praha 2003, ISBN 80-7300-096-2

Státní závěrečná zkouška