12. Optika
Obsah
Sylabus
Optika Fermatův princip, pojem paprsku. Zobrazovací optika. Zrcadla, čočky, zobrazovací rovnice. Optické zobrazovací přístroje. Fotometrie. Optická spektroskopie. Spektrometr. Spektra atomů a molekul. Tvar a šířka spektrální čáry. Spektrum černého tělesa.
Geometrická optika
Ačkoli nadpis "Geometrická optika" se neobjevuje v podotázkách tohoto okruhu, je dobré se to naučit, protože tím lze začít u první poloviny podotázek (tedy 4 in 1).
Geometrická optika je podmonožinou vlnové optiky, kde uvažujeme, že vlnová délka je zanedbatelná: $ \lambda \rightarrow 0 $. Dále uvažujeme nevodívé, izotropní, ale nehomogenní prostředí bez nábojů a bez proudů. Optickou dráhu (standardně uvažujeme, že světlo se šíří ve směru osy z) $ k.z\ $ můžeme přepsat jako $ k_0n(\vec r)z = k.S(\vec r) $, kde veličina $ S(\vec r) $ vyjadřuje optickou dráhu a jmenuje se eikonál.
Dosazením řešení $ E(\vec r,t)=E_0(\vec r) e^{-i \omega t}e^{ik_0 S(\vec r)} $ a $ H(\vec r,t)=H_0(\vec r) e^{-i \omega t}e^{ik_0 S(\vec r)} $ do Maxwellových rovnic. (Odvození dělal Malý na Fyzice 3, není těžké, ale je zdlouhavé.) Získáme tak eikonálovou rovnici $ (\nabla S)^2 = n^2 (\vec r) $.
Nyní můžeme definovat paprsek (má směr normály k vlnoploše, je kolmý na E i H): $ \vec s = \frac{\nabla S}{n} $. Podél paprsku se šíří energie (paprsek má stejný směr jako Poyntingův vektor).
Parametrizováním paprsku ($ d \vec r = ds.\vec s $) získáme paprskovou rovnici: $ \frac{d}{ds} (n\frac{d \vec r}{ds}) = \nabla n $. Pokud n = konst., pak paprskem je přímka. V obecném případě je pak vidět, že změna směru šíření paprsku je určena gradientem indexu lomu. Konkrétně se paprsek stáčí do míst s vyšším indexem lomu (připomíná Snellův zákon: při přechodu do opticky hustšího prostředí se paprsek láme ke kolmici).
V nehomogenním prostředí lze délku optické dráhy vyjádřit jako
$ s_{opt} = \int_A^B n(\vec r) dl $.
Fermatův princip
Paprsek mezi body A a B sleduje nejkratší možnou dráhu. Jinak řečeno: Paprsek sleduje extremální optickou dráhu, tedy:
$ \delta(\int_A^B n(\vec r) dl) = 0 $.
Fermatův princip je ekvivalentní s eikonálovou rovnicí. Ekvivalenci lze ukázat (dělal Malý) pomocí tzv. Lagrangeova invariantu (proveďme rotaci na eikonálovou rovnici a použijme rot grad = 0):
$ \oint n. \vec s \cdot d \vec l = 0 $ (integrál přes uzavřenou křivku).
Zobrazovací optika
Zobrazovací optika popisuje zobrazení optických prvků (zrcadla, čočky atd.). Využívá aproximace geometrické optiky a tzv. paraxiální aproximace. Vychází se z toho, že optické prvky jsou centrovány na společně ose a paprsky se vůči této ose šíří pod malými úhly:
$ sin \alpha = tg \alpha = \alpha\ $.
Optické prvky ve zobrazovací optici popisujeme buď zobrazovacím rovnicemi, nebo pomocí matic. Maticová optika se využívá především při použití více (mnoha) optických prvků za sebou. Matice jednotlivých prvků pak vynásobíme k dosažení popisu výsledného obrazu. Jde o násobení matic 2×2. Vstupující paprsek určíme jeho směrem (úhlem šíření vůči optické ose přístroje) a jeho vzdáleností od této osy. Po průchodu čočkou bude pak paprsek od osy stejně daleko, ale pod jiným směrem.
Při ostrém zobrazení bodu do bodu mluvím o stigmatickém zobrazení'. Odchylky od tohoto zobrazení se nazývají aberace. Vezmeme-li rozvoj sinu: $ sinx = x - \frac{x^3}{3!}+... $, pak první člen značí paraxiální aproximaci, vezmeme-li v úvahu členy do třetího řádu, pak získáme tzv. Seidelovy aberace (sférická vada, astigmatismus (<-rohovka oka není přesně kulová), zklenutí pole, koma (~kometa), zkreslení obrazu). Aproximací na geometrickou optiku vzniká ještě chromatická vada $ n = n(\lambda)\ $ - např. ohnisková vzdálenost reálné čočky je různá pro červenou a modrou barvu.
Zrcadla, čočky, zobrazovací rovnice
Zrcadla jsou tvořena zpravidla vyleštěnými vysoce odrazivými kovovými povrchy (u Maxwellových rovnic pak ale nelze uvažovat o nevodivém prostředí). Případně tenkými dielektrickými vrstvami. Světlo při odraze od zrcadel splňuje zákon odrazu.
Rovinná zrcadla odrážejí paprsky vycházející ze zdroje tak, že odražené paprsky se jeví jakoby vycházely z bodu za zrcadlem, který se nazývá obraz.
Dalším typem zrcadla jsou zrcadla parabolická. Jejich povrch tvoří rotační paraboloid. Soustředí všechny paprsky dopadající rovnoběžně s osou paraboloidu do jediného bodu (ohniska). Používají se v reflektorech nebo jako kolektory světla v teleskopech. Eliptická zrcadla zobrazují paprsky vycházející z jednoho ohniska do ohniska druhého, vzdálenost, kterou paprsek mezi ohnisky projde, je stejná po kterékoliv dráze. Sférická zrcadla zobrazují všechny paprsky, které na zrcadlo dopadnou rovnoběžně s osou, do ohniska (ohnisková vzdálenost je $ f = \frac{R}{2} $). Pro paraxiální paprsky dopadající na sférické zrcadlo platí zobrazovací rovnice
$ \frac{1}{z_1}+ \frac{1}{z_2}= \frac{2}{R} $.
Sférické čočky jsou tvořeny dvěm sférickými povrchy (o poloměrech $ R_1 $ a $ R_2 $). Zvláštní důležitost má tedy lom na sférickém povrchu. Ze Šnekova zákona lomu lze v paraxiální aproximaci odvodit tzv. Abbéův invariant (viz. Malý): $ n_1 ( \frac{1}{s}- \frac{1}{R})=n_2 ( \frac{1}{s'}- \frac{1}{R} ) $. Levá strana vyjadřuje předmětovou část, pravá strana obrazovou část, $ n $ - příslušný index lomu, $ s $, $ s´ $ - vzdálenost předmětu, obrazu). Z toho snadno (bod v ohnisku se zobrazí do nekonečna) získáme ohniskovou vzdálenost čočky:
$ \frac{1}{f}= (n-1)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}) $. (Předpokládáme, že se jedná o tzv. tenkou čočku.)
Pokud je f kladné, nazýváme čočku spojkou, pokud je záporné, jedná se o rozptylku. Zobrazovací rovnice má tvar:
$ \frac{1}{z_1}+ \frac{1}{z_2}= \frac{1}{f} $.
Zavádíme také optickou mohutnost $ P = \frac{n_3}{f} $, kde $ n_3\ $ je index lomu za čočkou. Optickou mohutnost měříme v dioptriích $ m^{-1}\ $.
Při zobrazení dvěma čočkami za sebou je výsledná ohnisková vzdálenost: $ f = \frac{f_1 f_2}{\Delta} $, kde $ \Delta $ je vzdálenost obrazového ohniska první čočky a předmětového ohniska druhé čočky (tj. v případě spojek dvou bližších ohnisek).
Optické zobrazovací přístroje
Nejjednoduším zobrazovacím optickým přístrojem lupa. Jako lupa může sloužit tenká spojná čočka s ohniskovou vzdáleností menší než konvenční zraková vzdálenost ($ L=25\,\rm cm $). Subjektivní zvětšení lupy (tedy poměr úhlů, pod kterým vidíme předmět s lupou a bez lupy): $ \Gamma = \frac{\alpha'}{\alpha} = \frac{y'}{l} \frac{L}{y'}=-\frac{L}{l} \frac{Z}{f}=-\frac{L}{f}(1+\frac{o}{l}) $. l je vzdálenost virtuálního obrazu od oka a o je vzdálenost od obrazového ohnsika lupy k oku. Pokud o = 0, pak říkáme, že oko je neakomodováno, zvětšení lupy je pak: $ \Gamma_\infty = -\frac{L}{f}= \frac{25\, \rm cm}{f} $, pokud je lupa bezprostředně před okem, pak je virtuální obraz předmětu v konvenční vzdálenosti L a dosahujeme největšího možného zvětšení ($ l = L, o = -f $): $ \Gamma_L = \Gamma_\infty + 1 $.
Dokonalejší přístroj sloužící k pozorování malých objektů je mikroskop: skládá se z objektivu, kde se tvoří zvětšený, skutečný a převrácený obraz předmětu, a okuláru, kterým se obraz neakomodovaným okem pozoruje. Obraz vytvořený objektivem musí být přesně v předmětovém ohnisku okuláru - to zajišťuje tubus. Zvětšení mikroskopu je: $ \Gamma = \frac{L}{f_2} \frac{\Delta}{f_1} $, kde $ f_2 $ je ohnisková vzdálenost okuláru, $ f_1 $ je ohnisková vzdálenost objektivu a $ \Delta $ vzdálenost mezi obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru.
K pozorování vzdálených předmětů slouží dalekohled. Dalekohledy se dělí především na čočkové a zrcadlové. Mezi čočkové patří dalekohled Keplerův (dvě spojky, převrácený obraz) a Galileův (spojka a rozptylka, přímý obraz). Zvětšení je dáno: $ \Gamma = \frac{f_1}{f_2} $. Dalekohledy jsou omezeny difrakční limitou rozlišovací schopnosti: $ \Theta_{min} = 1,22 \frac{\lambda}{d} $, kde d je průměr objektivu (proto se dělají tak velké). Používají se také dalekohledy zrcadlové. Např. Newtonův se sférickým zrcadlem.
Dalším zobrazovacím přístrojem je fotoaparát. Nejjednodušším foťákem je camera obscura. Tedy temná komora a malá díra. Čím je otvor menší, tím je obraz přesnější, ale tím méně světla do komory proniká. Výhodou je, že má nekonečnou hloubku ostrosti (nezáleží na vzdálenosti předmětu od fotoaparátu). Do otvoru se vkládají čočky (dnes obvykle složité systémy čoček), které mají zajistit dostatek světla při uspokojivé ostrosti.
Zvláštním zobrazovacím zařízením je oko. Hlavní optickou mohutnost zajišťuje rohovka (při nesymetrickém tvaru - astigmatismus. Zaostření dolaďuje čočka (při přílišné akomodaci - tzv. stařecká dalekozrakost; při nedostatečné akomodaci resp. příliš dlouhé oční komoře - krátkozrakost). Celkem se jedná asi o 65 dioptrií. Rozlišení $ \Theta_{min} = 1' $.
Fotometrie
Světlo je z energetického hlediska charakterizováno veličinou zvanou zářivý tok $ \Phi_e $. Je to výkon přenášený zářením uvažovanou plochou (jednotka watt). Lidské oko je různě citlivé na různé vlnové délky; záření, které je schopné vyvolat zrakový vjem je popisováno světelným tokem $ \Phi $ (jednotka lumen), který je se zářivým tokem spjat vztahem $ \Phi = K \Phi_e $ (K je světelná účinnost). Zdroj je charakterizován veličinou zvanou jas L (jednotka nit). Ploška zdroje S vyzařuje do prostorového úhlu $ \Delta\Omega $ umístěného v místě určeném úhlem $ \theta $ světelný tok $ \Delta\Phi = L cos\theta\Delta S \Delta\Omega $. Pro bodový zdroj je vhodnou charakteristikou svítivost I (jednotka kandela je základní jednotkou SI): $ \Delta\Phi = \Delta\Omega \int Lcos\theta dS \Rightarrow I = \frac{\Delta\Phi}{\Delta\Omega} $.
U kosinových zářičů (tj. těch, které splňují Lambertův zákon): $ I = I_0 cos \theta $ je jas ve všech směrech stejný.
Osvětlení (E, jednotkou je lux) dané plochy je celkový světelný tok dopadající na jednotkovou plochu: $ E = \frac{\Phi}{\Delta S} $.
Fotometrické přístroje dovolují ("okometrické") srovnání osvětlení zorného pole rozděleného na dvě části měřeným a referenčním zdrojem. Spektrálním fotometrem můžeme srovnávat různé úseky spektra stejných vlnových délek, pocházejících od různých zdrojů.
Optická spektroskopie
Optická spektroskopie se zabývá měřením především intenzity světla na jednotlivých vlnových délkách. Světlo je tedy potřeba zkoumané světlo rozložit do jednotlivých vlnových délek. Toho se dosahuje pomocí různých spektrálních přístrojů - především hranol, optická mřížka, interferometry. K oddělení vlnových délek dochází díky úhlové disperzi (tj. úhlová odchylka vlnových délek, které se liší o $ d \phi $:
$ D_\phi = \frac{d \phi}{d \lambda} \, . $
Zobrazením rozložených vlnových délek na stínítko získáme spektrograf. Pokud jednu z vlnových délek necháme procházet štěrbinou a ostatní odstíníme, pak přístroj funguje jako monochromátor.
Mezi základní charakteristiky spektrálních přístrojů patří světelnost (poměr výstupu a vstupu), volný spektrální obor (v jakém rozsahu vlnových délek umožňuje přístroj měřit) a rozlišovací schopnost (jak vzdálené vlnové délky dokážeme rozlišit): $ R = \frac{\lambda}{\delta \lambda} $. Hlavní používané kritérium pro rozlišení dvou vlnových délek (odlišení dvou píků ve spektrografu) je Rayleighovo - minimum mezi dvěma stejně velkými píky klesne na 0,8 intenzity.
Spektrometry
Spektrometry můžeme rozdělit na spektroskopy pro vizuální pozorování, spektrometry s kalibrovanou stupnicí a spektrografy pro vizuální záznam. Skládají se kromě zdroje z kolimátor který nasměruje světlo ze zdroje do disperzní soustavy, která je nejdůležitější součástí spektrometru, světlo se pak pozoruje dalekohledem nebo je zachycen detektorem. Hlavními disperzními prvky jsou hranol, optická mřížka a interferometry.
U hranolu se často využívá tzv. symetrického průchodu (tj. průchod, kdy dochází k tzv. minimální deviaci - nejmenší odchylka vstupujícího a vystupujícího paprsku). Výhodou je velký spektrální obor, nevýhodou je malá úhlová disperze (ta závisí na materiálu a na úhlu při vrcholu hranolu - větší <-> lepší). Rozlišovací schopnost závisí na materiálu hranolu a na velikosti podstavy (B): $ R = B. \frac{dn}{d \lambda} $. Světelnost závisí na úhlu při vrcholu hranolu menší <-> lepší. Větší (lepší) úhlová disperze znamená menší (horší) světelnost.
Optické mřížky se používají buď na průchod nebo na odraz. Výhodou je větší úhlová disperze (čím více vrypů na mm tím větší disperze), volný spektrální obor je však omezen tím, že jednotlivé řády difrakce se nesmějí překrývat. $ R = m.N $, kde m je řád difrakce a N je počet (osvětlených) vrypů.
Nejznámějším je Fabryův-Perotův interferometr. Skládá se ze dvou planparalelních (velmi přesně!) desek. Z nich jedna je částečně propustná. Světlo vstoupí mezi desky téměř kolmo, mezi deskami se mnohokrát odráží, ale přes druhou desku postupně prochází pryč. Paprsky vycházející z interferometru se kolimují na stínítko a interferují. Jiným typem interferometru je Lummer-Gehrckova deska (praktikum - Zeemanův jev). Interferometry mají velmi malý volný spektrální obor, ale velikou rozlišovací schopnost. $ R = 10^8 $. K rozlišení sodíkového dubletu stačí $ R = 10^3 $, na což stačí hranol o délce podstavy 1 cm.
Spektra atomů a molekul
Atomové spektrum: Při přechodech mezi energetickými hladinami atomu dochází k vyzáření nebo pohlcení fotonu. V Bohrově modelu je souvislost mezi spektrem a energetickými hladinami určena třetím postulátem, resp. vztahem:
- $ \nu = \frac{E_i-E_f}{h} = \frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right) $,
kde $ \nu $ je frekvence fotonu. Pohybuje-li se tedy elektron po stabilní dráze, nevyzařuje žádné záření, při přechodu mezi jednotlivými drahami však dojde k vyzáření nebo pohlcení energetického kvanta, jehož velikost určuje tento vztah (na této frekvenci naměříme spektrální čáru).
K podobným závěrům lze dospět použitím kvantové mechanického modelu atomu, kde pravděpodobnost přechodu z hladiny $ n $ na hladinu $ m $ je dána:
- $ \int_{-\infty}^\infty \psi_n^\star x\psi_m dx \, . $
Pokud je tento integrál nulový, mluvíme o zakázaných přechodech pokud je nenulový jedná se o dovolené přechody. Odtud získáváme výběrová pravidla, která určují, které přechody jsou dovolené. Např. u atomu vodíku (tzv. jednoelektronové spektrum):
- $ \Delta l = \pm 1 \, , $
- $ \Delta m_l = 0,\pm 1 \,. $
Molekulové spektrum U molekul není spektrum dáno jen elektronovou konfigurací, ale také vzájemným pohybem. Vznikají tak rotační spektra (přechody mezi kvantovanými rotačními stavy molekuly, nízké energie -> v mikrovlnné oblasti), vibrační spektra (přechody mezi vibračními stavy jednotlivých atomů v molekule, v infračervené oblasti). U plynů jsou vibrační spektra rozštěpena ještě různou rotací molekul - výsledkem je vibračně-rotační spektrum, které pozorujeme jako tzv. vibračně-rotační pásy. Jako pásy též pozorujeme elektronové spektrum (přechody mezi stavy elektronů sdílených více atomy v molekule).
Dále se používá Ramanovská spektroskopie, při které je látka prosvětlena laserem. Detekuje se záření, které je rozptýleno kmity krystalové mřížky nebo kmity v molekule. Tím vzniká tzv. Ramanovské spektrum, díky kterému lze zkoumat vlastnosti látky.
Působením vnějšího magnetického pole se v potenciální energii atomu projeví magnetická energie, která odpovídá magnetickému kvantovému číslu. Dojde tedy rozštěpení hladin (obvykle na triplet) normální Zeemanův jev. Někdy ale dochází k rozštěpení na více hladin, než lze takto popsat. Příčinou je spin elektronů a dochází tak k anomálnímu Zeemanovu jevu
Šířka čáry
Přirozená šířka čáry ($ \Delta f_0 $) je dána dobou života ($ \tau $) excitovaného stavu, jehož zářivý přechod čáru tvoří. Dobu života definujeme jako dobu, za kterou se počet atomů v tomto stavu klesne na $ \frac{1}{e} $:
- $ \Delta f_0 = \frac{1}{\tau} . $
Profil čáry má lorentzovský tvar (podobný gaussovu s většími chvosty) - odpovídá tlumenému harmonickému oscilátoru.
Dále musíme uvážit, že některé atomy se během pozorování pohybují k nám a některé od nás. Výsledkem je Dopplerův jev, který způsobuje tzv. dopplerovské rozšíření čáry ($ v_0 $ je střední rychlost molekul): $ \Delta f_D = \frac{2v_0}{c} $ Dopplerovské rozšíření má Gaussovský tvar. Rozšíření je úměrné teplotě látky a často je mnohonásobně větší než přirozená šířka čáry.
Dalším rozšířením (především u plynů) je tzv. srážkové rozšíření. Excitované stavy jsou narušeny vlivem srážky molekul. Dochází tedy jakoby ke zkrácení průměrné doby života - tedy k (lorentzovskému) rozšíření čáry. Toto rozšíření je úměrné tlaku.
Výsledná šířka čáry je tedy daná složením (konvolucí) několika funkcí.
Spektrum absolutně černého tělesa
Absolutně černé těleso neodráží záření na žádné vlnové délce. Jeho vyzařovací charakteristika je závislá na jeho povrchové teplotě. Použitím Bose-Einsteinova rozdělení a za předpokladu, že světlo je kvantované odvodil Max Planck Planckův vyzařovací zákon:
- $ I(\omega)\,\mathrm{d}\omega = \frac{\hbar}{\pi^2 c^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{kT}}-1}\ \mathrm{d}\omega \, . $
Celkové množství energie vyzářené absolutně černým tělesem na jednotku plošného obsahu za jednotku času (intenzitu záření) $ I $ lze získat přeintegrováním Planckova zákona přes všechny vlnové délky. Intenzita závisí na teplotě $ T $ absolutně černého tělesa dle Stefan-Boltzmannova zákona ($ \sigma= \frac{2\pi^5k_{\mathrm B}^4}{15h^3c^2} = \frac{\pi^2k_{\mathrm B}^4}{60\hbar^3c^2} = 5,6704 \cdot 10^{-8} \rm W\, m^{-2}\, K^{-4} $ je Stefan-Boltzmannova konstanta):
- $ I = \sigma T^4 \, . $.
Zderivováním Planckova zákona lze zjistit na jaké frekvenci je vyzařována maximální energie. Závislost této frekvence na termodynamické teplotě vyjadřuje Wienův posunovací zákon. S rostoucí termodynamickou teplotou se frekvence zvyšuje (tj. čím teplejší je těleso, tím vyzařuje na kratších vlnových délkách):
- $ \lambda_{\max} = \frac{b}{T} $,
kde $ \lambda_{\max} $ je vlnová délka maxima vyzařování, $ T $ je teplota tělesa a $ b $ je tzv. Wienova konstanta.
Odkazy
Vynikajúce skriptá z optiky sú na [1]
