Bakalářská státnice - Determinanty

Z ωικι.matfyz.cz
Přejít na: navigace, hledání
bc. Informatika
Okruh požadavků Základy matematiky
Tato stránka není kompletní a/nebo může obsahovat chyby!

V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.

Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom násobíme čísly r a s, kde r představuje znaménko příslušného pořadí prvních indexů a s znaménko příslušného pořadí druhých indexů.

Všeobecná definice a výpočet[editovat | editovat zdroj]

Nechť $ A = (a^i_j) $ je čtvercová matice.

Matice řádu 1[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 1×1, je

$ det A = a^1_1 $

Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Pokud A je matice 2×2, je

$ det A = a^1_1 a^2_2 - a^2_1 a^1_2 $

Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:

$ det A = a^1_1 a^2_2 a^3_3 + a^1_3 a^2_1 a^3_2 + a^1_2 a^2_3 a^3_1 - a^1_3 a^2_2 a^3_2 - a^1_1 a^2_3 a^3_2 - a^1_2 a^2_1 a^3_3 $

Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

Pro obecnou matici n×n determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:

$ det A = \sum_{\sigma=S_n}sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a^i_{\sigma(i)} $

Suma se počítá přes všechny permutace σ čísel {1,2,…,n} a sgn(σ) značí znaménko permutace σ: +1, pokud σ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.

Tento vzorec obsahuje n! (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu. Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $ \epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} $jako

$ det A = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{1 j_1}a_{2 j_2} ... a_{n j_n} = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{j_1 1}a_{j_2 2} ... a_{j_n n} $

Postupy výpočtu[editovat | editovat zdroj]

Gaussova eliminace[editovat | editovat zdroj]

Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro i > j je $ a^i_j = 0 $), neboť platí

$ det A = a^1_1 a^2_2 ... a^n_n $,

tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.

Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:

  • Pokud B vznikne z A výměnnou dvou řádku nebo sloupců potom $ det B = -det A $
  • Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom $ det B = c.det A $
  • Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom $ det B = det A $

Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.

Minor[editovat | editovat zdroj]

Mějme čtvercovou matici $ A_{ij} $, kterou získáme z matice A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant matice $ A_{ij} $, tzn. $ det A_{ij} $ nazýváme subdeterminantem (též minorem) příslušným k prvku $ a_{ij} $ matice A.

Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem nazýváme číslo $ A_{ij} = (-1)^{i+j}det A_{ij} $

Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)[editovat | editovat zdroj]

Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu n-tého řádu. Pro libovolné (pevně dané) i lze determinant matice A vyjádřit pomocí algebraických doplňků jako

$ det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} $

Tento postup je označován jako rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Ekvivalentně lze determinant vyjádřit rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce.

Geometrický význam determinantu[editovat | editovat zdroj]

Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]

Matice 2×2

$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix} $

má determinant

$ det A = ad - bc $.

Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), $ a_1=(a,c) $ $ a_2 = (b, d) $ a $ (a+b, c+d) $. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů $ a_1 $ a $ a_2 $. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory $ a_1 $ a $ a_2 $ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.


Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]

Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice $ B = (b^i_j) $ řádu 3. Řádkové vektory

$ b_1 = (b^1_1, b^1_2, b^1_3), b2 = (b^2_1, b^2_2, b^2_3), b3 = (b^3_1, b^3_2, b^3_3) $

určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů $ b_1, b_2, b_3 $ pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.

Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]

I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti $ b_1, b_2, ..., b_n $.

Pravotočivá a levotočivá soustava prostorových kartézských souřadnic[editovat | editovat zdroj]

Představte si, že v místě, kde stojíte, je počátek prostorové kartézské soustavy. Osa x nechť směřuje přímo vpřed (směrem, kterým se díváte), osa y nechť směřuje vlevo a osa z nechť směřuje vzhůru. Taková soustava se nazývá pravotočivá souřadná soustava.

Zaměníme-li osy x a y, získáme souřadnou soustavu levotočivou.

Obvykle se pracuje s pravotočivou souřadnou soustavou.

Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.

Inverzní matici k matici A značíme $ A^{-1} $.

Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.

$ A.A^{-1} = A^{-1}.A = 1 $

kde 1 je jednotková matice.

Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.

Výpočet inverzní matice[editovat | editovat zdroj]

Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:

  1. Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
  2. Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
    • záměna řádků
    • vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
    • přičtení jednoho řádku k jinému
  3. Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
  4. Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.

Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.


Cramerovo pravidlo[editovat | editovat zdroj]

Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.

Postup[editovat | editovat zdroj]

Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy A. Dále označme $ A_i $jako matici, kterou získáme z matice A, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.

Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako

$ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ...\\a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $ $ B=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\... \\b_m \end{pmatrix} $

pak má tvar

$ A_i= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{m,i-1} & b_m & a_{m,i+1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $

Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $ det A \neq 0 $, tzn. matice je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí

$ x_i = \frac{det A_i}{det A} $

pro i = 1,2,...,n.

Příklad[editovat | editovat zdroj]

Úkolem je řešit soustavu rovnic

$ x + y = 3 $
$ x - 2y = 1 $

Determinant matice soustavy je

$ det A = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -3 $

Poněvadž je $ det A \neq 0 $, lze použít Cramerovo pravidlo.

Dále určíme

$ det A_1 = \begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -7 $
$ det A_2 = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -2 $

Řešení má tedy tvar

$ x = \frac{det A_1}{det A} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} $
$ y = \frac{det A_2}{det A} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} $

Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.


Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Definice a základní vlastnosti determinantu.[editovat | editovat zdroj]

Úpravy determinantů, výpočet.[editovat | editovat zdroj]

Geometrický smysl determinantu.[editovat | editovat zdroj]

Minory a inversní matice.[editovat | editovat zdroj]

Cramerovo pravidlo.[editovat | editovat zdroj]