Legendreovy polynomy a sférické harmonické funkce

Legendrovy polynomy

řeší Legendrovu diferenciální rovnici:

$ {d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0. $

Mají generující funkci

$ g = 1/R = \frac{1}{\sqrt{1-2r cos\theta+r^2}}, $

která se dá rozvinout v řadu $ \sum_{n=0}^\infty r^n P_(cos\theta) $

Platí $ P_n(cos\theta)=1/n! \left[\frac{\partial^n g}{\partial r^n}\right]_{r=0} $

Navíc

$ P_n(-cos\theta)=(-1)^n P_n(cos\theta) $

Jsou sudé funkce pro sudá n a liché pro lichá n.

Rodriguesova formule:

$ P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]. $

Bonnetova recurzní formule:

$ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x).\, $

Explicitně:

$ P_n(x)= \frac 1 {2^n} \sum_{k=0}^n {n\choose k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k=\sum_{k=0}^n {n\choose k} {-n-1\choose k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k= 2^n\cdot \sum_{k=0}^n x^k {n \choose k}{\frac{n+k-1}2\choose n}, $

jsou symetrické a antisymetrické:

$ P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \, $

a ortogonální

$ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn} $

Několik příkladů:

$ P_0(x) = 1 $

$ P_1(x) = x $

$ P_2(x) = 1/2(3x^2-1) $

$ P_3(x) = 1/2(5x^3-3x) $

$ P_4(x) = 1/8(35x^4-30x^2+3) $

$ P_5(x) = 1/8(63x^5-70x^3+15x) $

$ P_6(x) = 1/(16)(231x^6-315x^4+105x^2-5) $

Mají vlastnost pro dva body, vzdálené od počátku souřadného systému r a r', jejich vzájemná vzdálenost se dá spočítat

$ 1/R = 1/r \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{r'}{r} \right)^n P_n(cos \gamma) $

pro r >r' a

$ 1/R = 1/r' \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{r}{r'} \right)^n P_n(cos \gamma) $

pro r'>r

==Přidružené Legendrovy polynomy== se vztahují k normálním:

$ P_l^m(x) = (-1)^m(1-x^2)^(m/2)(d^m)/(dx^m)P_l(x)=((-1)^m)/(2^ll!)(1-x^2)^(m/2)(d^(l+m))/(dx^(l+m))(x^2-1)^l $

se váží na sférické harmoniky - řeší se rovnice:

$ \nabla^2\psi + \lambda\psi = 0 $ a řešení: $ Y_{\ell, m}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)(\ell-m)!}{4\pi(\ell+m)!}}\ P_\ell^{m}(\cos \theta)\ e^{im\phi}\qquad -\ell \le m \le \ell $

Několik přidružených Legendrových polynomů v goniometrické substituci (zdroj - wikipedia):

$ \begin{align} P_0^0(\cos\theta) & = 1 \\[8pt] P_1^0(\cos\theta) & = \cos\theta \\[8pt] P_1^1(\cos\theta) & = -\sin\theta \\[8pt] P_2^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (3\cos^2\theta-1) \\[8pt] P_2^1(\cos\theta) & = -3\cos\theta\sin\theta \\[8pt] P_2^2(\cos\theta) & = 3\sin^2\theta \\[8pt] P_3^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{2} (5\cos^3\theta-3\cos\theta) \\[8pt] P_3^1(\cos\theta) & = -\tfrac{3}{2} (5\cos^2\theta-1)\sin\theta \\[8pt] P_3^2(\cos\theta) & = 15\cos\theta\sin^2\theta \\[8pt] P_3^3(\cos\theta) & = -15\sin^3\theta \\[8pt] P_4^0(\cos\theta) & = \tfrac{1}{8} (35\cos^4\theta-30\cos^2\theta+3) \\[8pt] P_4^1(\cos\theta) & = - \tfrac{5}{2} (7\cos^3\theta-3\cos\theta)\sin\theta \\[8pt] P_4^2(\cos\theta) & = \tfrac{15}{2} (7\cos^2\theta-1)\sin^2\theta \\[8pt] P_4^3(\cos\theta) & = -105\cos\theta\sin^3\theta \\[8pt] P_4^4(\cos\theta) & = 105\sin^4\theta \end{align} $

Sférické harmonické funkce

Jsou to ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích:

 $   {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0 $

Separace proměnných -> řešení v goniometických funkcích a Legendrových polynomech. Řešení s celočíselnými parametry $ \ell \ge 0 $a m od $ - \ell $ do $ \ell $ lze psát jako lineární kombinaci:

$ U_{\ell,m}(r,\theta , \varphi ) = r^{-1-\ell} Y_\ell^m( \theta , \varphi ) $ a sférické harmoniky Y s parametry l, m:

$ Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \cdot e^{i m \varphi } \cdot P_\ell^m ( \cos{\theta} ) $

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku

$ \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^mY_{\ell'}^{m'*}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},\quad\quad \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta $

platí pro ně

$ Y_{\ell}^{-m}( \theta , \varphi )=\left(-1\right)^m Y_{\ell}^{m*}( \theta , \varphi ) $

a splňují relace úplnosti

$ \sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ') = \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right), $

Příklady

$ Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi} $

$ Y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r} $

$ Y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r} $

$ Y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r} $

$ Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta $

$ Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta $

$ Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1) $

$ Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta $

$ Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta $

$ Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta) $