11b. Elektromagnetické vlny - vlnová optika

Sylabus

Optické interferometry. Fresnelův a Fraunhofferův ohyb, optická mřížka, Braggova rovnice. Elektromagnetické vlny v látkách. Šíření v anizotropním prostředí, dvojlom. Interference polarizovaného světla, elektro- a magnetooptické jevy. Optická aktivita.

Státní závěrečná zkouška

Fresnelův a Fraunhofferův ohyb, optická mřížka, Braggova rovnice

Huygensův princip

Ohyb neboli difrakce - to je ten samý jev, jsou to synonyma. Jednoduše řečeno - difrakce je jev, při kterém dochází k odchýlení směru vlny na hraně překážky. Pro ten samý se někdy používá termínu Rozptyl, což je částicový náhled na ten samý problém (=jev při kterém jsou částice vychylovány následkem srážek). Fraunhoverův a Fresnelův ohyb jsou dvě různé aproximace téhož jevu. Obě vycházejí z Huygens-Fresnelova principu: "Každý bod vlnoplochy je zdrojem sekundární vlny (na to přišel Huygens, ale myslel, že celková vlna je obálka těch sekundárních). Sekundární vlny spolu interferují (to doplnil Fresnel, pak z toho jde i něco počítat, třeba difrakce).

Příspěvek výsledné amplitudy pole v bodě za štěrbinou z daného bodu štěrbiny je:

$ {\rm d}E = \frac{E_L \,{\rm d}S}{r} \exp\left(-i\left(\omega t - k r\right)\right), $

kde $ E_L $ je amplituda dopadající rovinné vlny a $ r $ je vzdálenost obou bodů. To $ r $ musíme nějak aproximovat.

Fraunhoferova difrakce je aproximace pro daleké pole - to znamená, že musí platit $ L \gg \frac{b^2}{\lambda} $, kde $ b $ je šířka štěrbiny, $ \lambda $ je vlnová délka použitého záření a $ L $ je potřebná vzdálenost od štěrbiny. Počítáme tedy, že obraz je v nekonečné vzdálenosti = všechny paprsky do něj vstupují pod stejným úhlem $ \theta $. Vzdálenost $ r $ potom můžeme spočíst jako $ r = r_0 + s . \sin \theta $. $ r_0 $ je vzdálenost středu apertury od zkoumaného bodu, a $ s $ je vzdálenost bodu v apertuře od jejího středu. Více viz nákres. Výsledné pole vznikne přeintegrováním přes celou štěrbinu (b je šířka štěrbiny)

$ E = \int_{-b/2}^{b/2} \frac{E_L}{r_0+s \sin \theta} \exp(-i(\omega t - k (r_0 + s \sin \theta)) {\rm d}s, $

ve jmenovateli člen ze sinem zanedbáme, v exponenciále to nejde. Uvedu jen výsledek integrování:

$ E = \frac{E_L b}{r_0} \exp(-i(\omega t - k r_0)) \frac{\sin \beta}{\beta} $ kde $ \beta = \frac12 k b \sin \theta. $

Rozložení intenzity při difrakci na štěrbině

My při difrakci pozorujeme intenzitu: $ I = \left<E \cdot E^*\right> = I_0 \frac{\sin^2\beta}{\beta ^2} $. Minima nastávají pro $ \beta = n\pi $, kde $ n = \pm 1, \pm 2, \pm 3 $. Pro $ k = 0 $ nastává maximum.

V praxi míváme 2D štěrbinu. Zde uvedu jen výsledek pro Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru: $ I = I_0 \left(\frac {J_1 (\gamma)} {\gamma}\right)^2 $ kde $ \gamma = k R \sin \theta $ kde R je poloměr štěrbiny. $ J_1 $ je vskutku Besselova funkce 1. řádu.

V praxi často pozorujeme difrakci na optické mřížce, což je vlastně mnoho štěrbin. Nyní už uvádím jen výskledek (1D případ):

$ I = I_0 \left(\frac{\sin\beta} \beta\right)^2 \left(\frac{\sin {N\alpha}}{\sin{\alpha}}\right)^2 $

kde $ \alpha = k \frac a 2 \sin \theta $ a $ \beta= k \frac b 2 \sin \theta $. $ a $ je vzdálenost štěrbin a $ b $ je jejich šířka. První člen vztahu pro intenzitu souvisí s difrakcí a druhý s interferencí. Podmínku pro maxima pak můžeme zapsat jako $ a \sin \theta = \lambda n $ kde $ n = \pm 1, \pm 2, \pm 3 $. Tento vztah se nazývá mřížkovou Braggovou rovnicí.

Schéma Feesnelovy difrakce na štěrbině

Fresnelova difrakce je aproximací pro malé vzdálenosti. Těsně za aperturou vypadá difrakce úplně jinak, připomíná tvar apertury. To popisuje Fresnelova difrakce. Matematicky je to o hodně složitější a exaktní odvození přsahuje rozsah SZZ. Z obrázku je vidět, že dopadající vlnu počítáme jako kulovou. Takto je třeba počítat pro oblast blízkého pole, tedy tam, kde $ L < \frac S \lambda $ kde $ S $ je plocha štěrbiny. Výslednou amplitudu pole zjistíme řešením Fresnel-Kirchhoffova integrálu:

$ E = \frac {-i} {\lambda} A_0 \int_{apertura} F(\theta) \frac 1 {r r_0} \exp (ik(r+r_0)) $

Zde $ F(\theta) $ je činitel sklonu, který vychází (viz Malý, str. 128): $ F(\theta)=\frac{1+cos(\theta)}{2} $

Tento integrál musíme řešit pro každý bod $ \rm P $ v prostoru, který nás zajímá a analyticky to nejde. Jeho řešení pomáhá rozdělit si aperturu na tzv Fresnelovy zóny. Platí, že světlo v sousedních zón se v daném bodu $ \rm P $ skládá s opačnou fází. Pokud zkoumáme bod na ose kruhové štěrbiny, jsou Fresnelovy zóny kružnice. Příspěvky každé další zóny pak z velké části vyruší příspěvek ze zóny předchozí (nevyruší ho zcela kvůli poklesu intenzity z důvodu zvětšující se vzdálenosti zóny a bodu $ \rm P $). Z toho plynou zajímavé závěry. Můžeme vzít tzv. Fresnelovu zónovou desku, což je udělátko co zakryje každou druhou zónu, obdržíme v bodě $ \rm P $ hodně velkou intenzitu záření. Pokud zakryjeme všechny zóny krom prvních dvou, dostaneme intenzitu hodně malou (dvě zóny se skoro celé odečtou).

Fresnelovu difrakci na hraně (či třeba na drátu) aproximujeme pomocí válcové vlnoplochy. Obdobně zavedeme Fresnelovy zóny. Graficky se tento problém řeší pomocí tzv. Cornuovy spirály. Každý půloblouk v ní náleží jedné Fresnelově zóně.

Šíření v anizotropním prostředí, dvojlom

Krátký úvod - shrnutí: Anizotropní v tomto případě znamená, že index lomu závisí na směru šíření vlny a na její polarizaci. Nastává pak to, že se svazek láme na různě polarizované svazky. Tento jev se nazývá dvojlom. Nastává např u vápence $ \rm CaCo_3 $, který krystalizuje se symetrií $ \overline3m $. Pokud bude vlna procházet vápence právě ve směru trojčetné osy, nebude index lomu záviset na na směru polarizační roviny. Tomuto směru se pak říká optická osa. Látky dělíme na opticky jednoosé, dvouosé a opticky izotropní (význam je zřejmý z názvu). Matematicky anizotropii vyjadřujeme tensorem permitivity. Platí materiálový vztah: $ D_i = \sum_{j=1}^3 \epsilon_{ij} E_j $. Dá se dokázat, že i v anizotropních prostředích je symetrický, pozitivně definitní a proto se dá transformací převést na diagonální tvar. Pak říkáme, že máme tenzor permitivity v hlavních osách ($ \epsilon_{ii} = \epsilon_i $). Pro izotropní látky máme $ \epsilon_1 = \epsilon_2 = \epsilon_3 $, pro látky jednoosé se jsou si rovny dvě komponenty a dvojosé látky mají všechny komponenty tenzoru permitivity různé.

Odbočka - trochu to teď provážu s krystalografií. Soustavy ortorombické, monoklinické a triklinické jsou opticky dvojosé. Opticky izotropní jsou látky kubické a také amorfní (neuspořádané) a všechny kapaliny a plyny. Jednoosé jsou trigonální, tetragonální a hexagonální. Prakticky můžete dvojlom ukázat na zmíněném vápenci, křemenu, safíru, ledu (všechny trigonální) a nebo třeba na hnojivu KDP (fosforečnan dihydrogendraselný - $ \rm KH_2PO_4 $) - to je tetragonální.

Šíření světla v anizotropním prostředí popisuje Fresnelova rovnice:

$ \vec D=-\frac{n^2}{\mu c_0^2} \vec s \times (\vec s \times \vec E) $

Pro jednoosé látky má tato rovnice dvě řešení pro $ n^2 $. Jedno vede k indexu lomu nezávislému na směru šíření ($ n_o^2 = \epsilon_1 $) a nazývá se ordinální, neboli řádný index lomu.

Druhé řešení je složitější: $ {n_e(\theta)}^2 = \frac{\epsilon_1\epsilon_3}{\epsilon_1 \sin^2\theta + \epsilon_3 \cos^2 \theta} $, kde $ \theta $ je úhel šíření od optické osy. (Pro $ \theta = 0 $ oba index lomu splývají). Tento index lomu se nazývá extraordinární (mimořádný). Z Fresnelovy rovnice také plyne, že mezi komponentami $ E_1, E_2, E_3 $ není fázový posun - vlny v anizotropním prostředí jsou tedy lineárně polarizované. Řádná vlna je polarizována kolmo na rovinu hlavního řezu, mimořádný paprsek je polarizován také lineárně v rovině hlavního řezu (v jednoosých látkách). Rovina hlavního řezu je určena optickou osou a směrem $ \vec s $.

Fresnelovu rovnici lze řešit graficky (tak jako spousta věcí v optice, ten počítač jim dost chyběl) pomocí optické indikatrix - to je 3D elipsoid daný tenzorem permitivity. Koho to zajímá, jistě si to někde najde.

Jak vznikne ten dvojlom? Světlo dopadá z izotropního prostředí na látku opticky jedoosou. Ale máme tu dva možné indexy lomu -> dva různé paprsky: řádný a mimořádný. V extraordinárním svazku není směr vlnového vektoru $ \vec s $ a směr šíření paprsku lineární. Proto, pokud bude světlo dopadat kolmo na jednoosý krystal (ne však rovnoběžně s jeho optickou osou), dojde ke zdvojení paprsků. Řádný projde rovně a mimořádný se zlomí (i když dopadal kolmo).

Optickou anizotropii může vyvolat i vnější pole. Pak hovoříme o Kerrově jevu.

Optická aktivita

Státní závěrečná zkouška