Matematické struktury

Matematické struktury

Kód předmětu: NMAI064 Přednáší: Aleš Pultr

• skripta přímo "od zdroje", hippiesovy opravy, opravy od shiroo
• Požadavky ke zkouškám z matematických struktur
• fórum n forum.matfyz.info
• obrazky + obrazky z algebry 1
• Wiki-skripta na Matematické struktury

Požadavky ke zkoušce (akad. rok 2005/2006)

1. Relace, relační systémy, homomorfismy. Podobjekty, součiny a kvocienty.
2. Předuspořádání a (částečná) uspořádání. Suprema a infima. Adjunkce (Galoisova konexe). Knaster-Tarského věta o pevném bodě. Relace "hluboko pod".
3. a $ \wedge $ b, a $ \vee $ b jako binární operace. Distributivní svazy. Ideály a filtry v distributivních svazech. Pseudokomplementy a komplementy. Heytingovy a Booleovy algebry.
4. Algebraické operace. Algebraické struktury daného typu, algebry. Homomorfismy a jejich vlastnosti. Podalgebry. Součiny (produkty) algeber. Kongruence a faktorové algebry. Volné algebry. Variety algeber a Birkhoffova věta o varietách.
5. Základní topologické pojmy (otevřené a uzavřené množiny, okolí, uzávěr). Spojitost a její charakteristiky. Oddělovací axiomy. Střízlivost. Kompaktní prostory a jejich základní vlastnosti.

Zkoušky

30.5.2006

Na zkoušce jsme se sešli dva. Moje otázky byly

• Definujte operaci $ \vee $ pomocí suprema. Definujte uspořádání na algebře s operací $ \vee $ a dokažte, že $ a \vee b = sup\{a, b\} $.
• Definujte homomorfismus algeber + jaké jsou jeho speciální vlastnosti (oproti obecným homomorfismům)
• Dokažte Knaster-Tarského větu o pevném bodě
• Ekvivalentní definice spojitých zobrazení v topologických prostorech
• Důkaz Alexadrovova lemmatu

Zkouška trvala asi tři čtvtě hodiny.

31.5.2006

Dnes jsme byli na zkoušce čtyři. Dostal jsem následující otázky:

• Dokázat Knaster-Tarského větu o pevném bodě.
• Popsat ideály a filtry v distributivních svazech a dokázat Birkhoffovu větu.
• Popsat oddělovací axiomy.
• Dokázat Alexadrovovo lemma.

06.6.2006

Tady jsou moje postřehy:

• V SiSu byla zkouška vypsaná na 9:30. V 9:27, když jsem přišel, už byli všichni uvnitř a pracovali na otázkách.
• Pultr zkouší všechny najednou: zadá otázku, po vypracování mu dáte vědět, on to prohlídne a zadá další otázku nebo si řekne o index. Taky se ptá, jestli jste se učili i těžký věci, jestli chcete jedničku nebo vám stačí horší známka atd. Když s něčím nehnete, dá náhradní otázku.
• Než jsem odešel, dostali všichni jedničku, jeden se tam ještě trápil. Na druhou stranu několik lidi vůbec nepřišlo.
• Otázky:

1. Galoisova adjunkce
2. Variety
3. Kompaktní Haussdorfovy prostory

• Po necelé hodině za jedna. Ani nebylo potřeba uvádět moc důkazů. U dvojky se naštěstí spokojil, jen s popisem operátorů E a M a formulací Birkhoffovy věty o varietách. Třetí otázka byla dokazovací - jde o to dokázat, že kompaktní Haussdorfův prostor je regulární (T₃) a přes to dokázat, že kompaktní Haussdorfův prostor je normální (T₄).
• Ideální je stěsnat odpověď na jednu stránku A4. Docela by mně zajímalo, jestli ty odpovědi vůbec čte. Trojka se mi na A4 nevešla, tak jsem důkaz druhé věty napsal na druhou stranu. Když to prohlížel, tak stránku neotáčel a ani mu nepřišlo, že by něco chybělo :-)

07.6.2006

• Zkouška začala asi v 9:17, Pultr chodí dřív... Jinak to probíhalo stejně jako 6.6.
• Otázky co jsem zachytil a co tu ještě nepadly:

1. Střízlivost prostoru
2. Birkhofova věta o varietách

• Já měl Knaster-Tarskeho, Birkhofa I a oddělovací axiomy - ty sem trochu zblbl, celkově za 2 po 45 min. Good Luck.

13. 6. 2006

• Pultr prisel brzo - uz v 9:00, tak jsme zacali hned
• dostal jsem:

1. Galoisova konexe + vety o ni (ani nechtel moc dukazy)
2. definice Heytingovy algebry + vyznam Galoisovy konexe v ni (jedna cast uplne distributivity)
3. Boolenizace Heytingovy algebry (nevedel jsem dukaz => nahradni otazka)
4. ekvivalentni definice spojitosti s dukazy
5. Alexandrovo lemma

• tim, ze jsem neznal Boolenizaci, tak rekl, ze asi jednicka to nebude - pak jsem udelal tu spojitost s dukazama, tak se me zeptal, jestli neco tezsiho bych zvladl, treba existence volne algebry - na to jsem zakroutil hlavou a zeptal se me, tak co tedy? Alexandrovo lemma ... po chvilce premysleni kyvl, ale pohrozil, ze mi neporadi ani carku navic ani jeden index neopravi - nastesti jsem tohle lemma umel podrobne ;-) ...
• vybojoval jsem za 1 po hodine a ctvrt
• dalsi otazky co tam padly:

1. veta o pevnem bode
2. definice volnych algeber
3. definice variet