Vyčíslitelnost I

Z ωικι.matfyz.cz
Přejít na: navigace, hledání
Vyčíslitelnost I
Kód předmětu: NTIN064
Přednáší: Antonín Kučera

Probraná látka (2007/2008)

Čísla (pokud jsou uvedena) odkazují do skript od Ladislava Strojila (v.x - věta, l.x - lemma), odkazy míří do wiki-skript.

  • 1. 10. 07 - Turingovy stroje - základ, modifikace
  • 8. 10. 07 - Univerzální TS, halting problem, základní definice k PRF, ORF a ČRF
  • 15. 10. 07 - Vztah PRF, ORF a ČRF, množiny, predikáty
  • 22. 10. 07 - Ackermannova funkce, strukturální složitost, univerzální f-ce, ekvivalence TS a ČRF (1. část)
  • 29. 10. 07 - Ekvivalence TS a ČRF (2. část), Univerzální ČRF, Kleenova věta, s-m-n věta, pojem numerace
  • 5. 11. 07 - Rekurzivně spočetné množiny: 1-převeditelnost, m-převeditelnost, v.4
  • 12. 11. 07 - Rekurzivně spočetné množiny: Myhillova věta (v.5), Rekurzivní spočetnost: v.6, v.7, v.8, v.9, v.10, v.11
  • 19. 11. 07 - Generování rekurzivně spočetných množin: v.13, v.14?, v.15, Simple množiny l.5, Rekurzivní spočetnost v jiných oblastech
  • 26. 11. 07 - Matijasevičova věta (v.20) bez důkazu, Věty o rekurzi: v.21, v.22, v.23, v.24, v.25
  • 3. 12. 07 - Produktivní a kreativní množiny: v.26, v.27, v.28, v.29, v.30
  • 10. 12. 07 - Produktivní a kreativní množiny: úplná produktivita v.31, Dvojice množin: v.32, v.34
  • 17. 12. 07 - Gödelovy věty
  • 7. 1. 08 - v.33, těžší část důkazu "1-úplná = ef. neoddělitelná dvoj.", Tot, Důsledek 7
  • 20. 2. 09 - (1) Vztah dom(f) a rang(f) pro f ČRF.; (2) Efektivně neoddělitelné dvojice - definice a existence

Zkouška

Kučera na tabuli napsal dvě otázky (od 1.2.2008 zadává 3) společné pro všechny (viz níže). Vše chtěl i s důkazem. Čas nebyl omezený, chodil mezi námi a průběžně nás usměrňoval (tedy upozornil, když někdo dokazoval něco jinýho než měl...). Pokud byl spokojen, napsal rovnou známku. Nebo taky řekl, že vidí, že tomu nerozumím, jestli bych si nepřišel příště.

Od února 2008 se objevují nové otázky, které již nejsou tolik teoretické, ale jsou spíše zaměřené na pochopení probrané látky a vztahů.

Otázky

(Pokud není datum, letos ani loni se to nejspíše nevyskytlo)

  • Ackermannova funkce
  • TS <=> ČRF
  • Univerzální funkce pro třídu PRF (zda existuje a do jaké třídy patří) (2.2.2007), že není v PRF (29.1.2010)
  • Lemma o selektoru (11.1.2008, 19.1.2007, 15.2.2007, 13.9.2007, 23.1.2009)
  • Věty o generování rekurzivně spočetných a rekurzivních množin (25.1.2008, 3.2.2014)
  • Konstrukce prosté (simple) množiny (18.1.2008, 26.1.2007, 22.1.2010, 5.2.2010, 18.2.2011, 9.1.2013, 13.01.2014)
  • Základní věta o rekurzi + aplikace (Rice) (15.2.2007, 2.6.2009, 5.2.2010, 29.9.2011)
    • který program počítá déle, jestli a nebo f(a) a jak
  • Imunní, produktivní a kreativní mn.
  • Důkaz, že existuje obecně rekurzivní produktivní funkce (26.1.2007, 1.2.2008, 23.1.2009, 22.1.2010, 26.1.2012, 30.1.2013, 11.2.2013)
  • Vztah kreativnosti a 1-úplnosti (navíc i důkaz lemmatu o vztahu produktivních množin a převoditelnosti z $ \overline{K} $) (18.1.2008, 19.1.2007, 13.9.2007, 19.1.2010, 9.1.2013, 13.01.2014)
  • Dokázat, že $ \overline{K} $ (doplněk K) je nejjednodušší produktivní množina. Tzn. Všechno co převedu na $ \overline{K} $ je produktivní a když je C produktivní, tak ji převedu na $ \overline{K} $. Důkaz byl vlastně totožný s předchozím příkladem z tohoto seznamu. (19.1.2007, 25.1.2008)
  • Efektivně neoddělitelné množiny (všecho o nich - definice, existence, a ještě dokázat, že ef. neoddělitelnost = 1-úplnost) (2.2.2007, 17.6.2008 - vetu ef.neodd=1-uplnost odo mna nevyzadoval)
  • Konstrukce efektivně neoddělitelné množiny (23.1.2007, 11.1.2008, 12.2.2010, 30.1.2013, 3.2.2014)
  • Gödelovy věty (znát definice (ZAS, axiomatizovatelná teorie...) a znění Gödelovy věty) (8.2.2008)
  • Dokázat, že množina Tot je produktivní (1.2.2008)
  • Dokázat, že univerzální ČRF nelze rozšířit na ORF v.2 (1.2.2008, 17.6.2008, 30.1.2009, 1.2.2010, 4.2.2013)
  • Dokázat úplně produktivní = produktivní (8.2.2008, 30.1.2009, 19.2.2009, 29.1.2010, 1.2.2010, 4.2.2013)
  • Riceove věta + důkaz (15.2.2008)
  • B = {x : Wx = $ \empty $} - dokázat, že není rekurzivní ani rekurzivně spočetná (15.2.2008)
  • B = {x : Wx != $ \empty $} - dokázat, že není rekurzivní (23.1.2009)
  • (A,B) jsou efektivně neoddělitelné (disjunktní, rekurzivně spočetné) - dokázat, že A je kreativní (15.2.2008)
  • KxK' = {<x,y> : x patří do K & y patří do K' } Je mnozina RS? Je její doplněk RS? (22.2.2008)
  • sestrojte n0 : φn0 (w) = n0
  • TIN064 Vlastnosti mnoziny K - [ Rekurzivni? Rekurzivne spocetna? Produktivni? 1-Uplna? Kreativni? ] (6.3.2009)
  • Dukaz: Produktivni mnozina ma nekonecnou rekurzivne spocetnou podmnozinu. (6.3.2009)
  • Vztah dom(φ) a range(α) pro α,φ ČRF. Zde (20.2.2009,19.1.2010)
  • Efektivně neoddělitelné dvojice (definice, existence). (20.2.2009, 9.6.2009)
  • Charakterizace rekurzivních a rekurzivně spočetných množin pomocí (oboru hodnot) ČRF (věty o úsekových ČRF) (19.2.2009, 9.6.2009, 29.1.2010, 12.2.2010, 29.9.2011, 11.2.2013)
  • Dokažte, že obor hodnot ČRF je rekurzivně spočetná množina (také mohl myslet věty o úsekových ČRF) (předtermín 16.1.2009, 2.6.2009)
  • Dokažte, že A je produktivní právě tehdy když doplněk K jde m-převést na A (předtermín 16.1.2009)
  • f je prosta CRF => inverzna k f je CRF (1.2.2010)
  • Dokázat, že je-li p rekurzivní permutace, pak p-1 je též rekurzivní permutace. (26.1.2012)

Materiály

Citováno z „http://wiki.matfyz.cz/index.php?title=Vyčíslitelnost_I&oldid=22754“