7. Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření

Sylabus

Základní elektromagnetické veličiny a jejich měření Intenzity elektrického a magnetického pole, elektrická a magnetická indukce. Materiálové vztahy. Metody měření elektrických a magnetických veličin. 10. Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé Ustálený a neustálený stav. Metody řešení elektrických obvodů. Kirchhoffova pravidla. Jouleův zákon.

Státní závěrečná zkouška

Intenzita elektrického pole

Na základě fyzikálních experimentů můžeme popsat silové působení mezi dvěma náboji tzv. Coloumbovým zákonem, který má tvar:

$ \mathbf{F_{12}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{|\mathbf{R}_{12}|^3}\mathbf{R_{12}} $

Experimentální zkušenost ukazuje, že silové působení mezi danou dvojicí nábojů je na přítomnosti dalších nábojů nezávislé. Podle věty o skládání sil, známé z mechaniky, můžeme proto celkovou sílu $ \bf F $ působící na náboj $ Q $ vyjádřit jako vektorový součet $ \mathbf{F_i} $ vyvolaných jednotlivými náboji $ Q_1 $až $ Q_N $, takže Coulumbův zákon pak pro výslednou sílu mezi více náboji můžeme napsat jako:

$ \mathbf{F} = \sum_{i=1}^N \mathbf{F_i} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}Q\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{R_i^3} \mathbf{R_i} $

přičemž $ \mathbf{R_i = r - r_i} $

Vektor intenzity elektrostatického pole bodových nábojů se pak definuje jako:

$ \mathbf{E}(r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{R_i^3} \mathbf{R_i} $

Veličina $ {\bf E}\left(r\right) $ představuje vektorové pole (elektrostatické pole) a je to vlastně síla, která působí v daném bodě na jednotkový kladný elektrický náboj. Vektor $ \bf E $ je definován v každém bodě prostoru, s výjimkou těch, v nichž se nacházejí náboje $ Q_i $. V reálu zpravidla neexistují bodové náboje ale makroskopicky nabitá tělesa o nějakém objemu. Podobně jako v mechanice můžeme zavést objemovou hustotu náboje $ \rho(r) $. Náboj tělesa o objemu $ V $ pak můžeme definovat jako:

$ Q = \int_V \rho(r){\rm d}V $

veličinu E pak můžeme definovat jako:

$ \mathbf{E}(r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V \frac{\rho(r_i)}{|r-r_i|^3}{\bf \left(r-r_i\right)}{\rm d}V $

Elektrostatické pole reálného tělesa je tedy možné vyjádřit jako pole vhodně zvolených diskrétně rozložených bodových nábojů, nebo jako pole spojitě rozloženého náboje. Intenzita pole je tedy všude spojitá s výjimkou povrchu tělesa o ploše S. Při průchodu touto plochou zůstávají spojité pouze její tečné složky. Její normálové složky se mění skokem o hodnotu $ \mathbf{\sigma/\varepsilon_0} $. Platí tedy vztahy:

$ E_{1t} - E_{2t} = 0 \ $

$ E_{1n} - E_{2n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $

Elektrické pole můžeme vhodně znázornit pomocí siločar. Siločára je myšlená orientovaná čára vedená tak, že tečna v každém jejím bodě má směr vektoru intenzity elektrostatického pole. Hustota siločar je volena tak, aby byla úměrná velikosti intenzity v uvažovaném místě pole. Z představy siločar se zavádí tok intenzity elektrostatického pole. Pro homogenní pole:

$ \Phi = \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S} $

Pro nehomogenní pole musíme vyjádřit tok intenzity přes jednotlivé plošky prostoru a sečíst je:

$ \Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d} \mathbf{S} $

kde $ \mathbf{S}= S\mathbf{n} $ a $ \bf n $ je normála k ploše $ S $.

Pro celkový tok intenzity elektrostatického pole uzavřenou plochou s náboji uvnitř dostaneme výraz:

$ \Phi = \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S_n} = \int_0^{4\pi} \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_i}{r_i^2}r_i^2 \,{\rm d}\Omega = \frac{\sum Q_i}{\varepsilon_0} $

kde $ {\rm d} \mathbf{S_n} = r_i^2 \, {\rm d}\Omega $

Vztahu:

$ \int_S \mathbf{E_i} \cdot {\rm d}\mathbf{S_n} = \frac{\sum Q_i}{\varepsilon_0} = \frac{Q_c}{\varepsilon_0} $

se říká Gaussův zákon elektrostatiky pro soustavu bodových nábojů. V případě rovnoměrného rozložení nábojů má Gaussův zákon tvar:

$ \int_S \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{S} = \frac {1}{\varepsilon_0} \int_V \rho \, {\rm d}V $

Gaussův zákon slovně: Celkový tok intenzity elektrostatického pole soustavy bodových nábojů libovolnou uzavřenou plochou S je roven celkovému náboji $ Q_c $ uzavřenému uvnitř této plochy dělenému permitivitou vakua.

Podle Gaussovy věty vektorové analýzy dostaneme:

$ \int_V {\rm div}\, \mathbf{E}\, {\rm d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho \, {\rm d}V $

Objem $ V $ je volen libovolně a tak poslední rovnice musí platit i pro "malé" objemy, neboli Gausssův zákon v diferenciálním tvaru:

$ {\rm div}\, \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_i} $

Potenciál

Skalární funkci definovanou vztahem:

$ \varphi(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{i=1}^N \frac{Q_i}{|r-r_i|} + C $

nazveme potenciálem elektrostatického pole. Potenciál souvisí s intenzitou $ \bf E $ vztahem

$ \mathbf{E}(r) = - {\rm grad}\, \varphi(r) \, . $

Při přemísťování náboje z jednoho místa na druhé, koná elektrostatické pole práci. Tu spočteme jako

$ W = - \int_l F \cdot {\rm d}\mathbf{l} \, . $.

Uzavřená křivka: dosadíme-li postupně za sílu $ \bf F $ a za intenzitu $ \bf E $ dostaneme

$ W = - Q\int_l \mathbf{E} \cdot {\rm d}\mathbf{l} =-Q \int_S {\rm rot}\, \mathbf{E}\cdot {\rm d}\mathbf{S} =-Q \int_S {\rm rot}\, (-{\rm grad}\, \varphi)\cdot {\rm d}\mathbf{S} = 0 \, . $

Neboli práce vykonaná elektrostatickým polem nezávisí na dráze - pole je konzervativní a je nevírové. Poslední vlastnost vyjadřuje rovnice:

$ {\rm rot} \, \mathbf{E} = 0 \, . $

Elektrická indukce

Látkám, které při vložení do elektrického pole izolují, říkáme dielektrika. U něj jsou nabité látkové částice vázány a působením vnějšího pole se nemohou vzdálit. Pro popis elektrostatického pole v přítomnosti dielektrika využíváme vektoru polarizace $ {\bf P}(r) $. Tento vektor souvisí s koncentrací plošných a objemových vázaných nábojů vztahy:

$ \sigma(r) = \mathbf{P(r)}\cdot\mathbf{n} \, , $

$ \rho(r)= -{\rm div}\, \mathbf{P(r)} \, . $

Obecně vzato mohou v dielektriku existovat i náboje volné vznikající při zelektrování dielektrika různým způsobem. Makroskopické hodnoty intenzity elektrostatického pole volných $ \bf E_0 $ a vázaných nábojů $ \bf E_p $ budeme tedy superponovat:

$ \mathbf{E} = \mathbf{E_0} + \mathbf{E_p} \, . $

Vztahem

$ \mathbf{D(r)} = \varepsilon_0\mathbf{E(r)} + \mathbf{P(r)} $

zavádíme nový vektor $ {\bf D}(r) $ - vektor elektrické indukce. S jeho pomocí můžeme zapsat Gaussův zákon ve tvaru

$ \int_S \mathbf{D}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = Q \, , $

kde $ Q $ je celkový volný náboj (vázané náboje jsou zahrnuty ve vektoru elektrické indukce). Předpokládáme-li, že uvnitř plochy $ S $ nejsou ani volné plošné náboje, můžeme známým způsobem přejít k diferenciálnímu tvaru Gaussovy věty:

$ {\rm div}\, \mathbf{D} = \rho \, , $

kde $ \rho $ představuje objemovou hustotu volných nábojů.

Podobně jako pro intenzitu elektrostatického pole platí:

$ (\mathbf{D_1 - D_2})\cdot \mathbf{n} = \sigma \, . $

Magnetická indukce

Jestliže se částice s nábojem $ q $ pohybuje v blízkosti vodičů protékaných proudem či v blízkosti zmagnetovaných těles, lze ukázat, že celkovou sílu $ \bf F $ působící na částici lze vyjádřit vztahem, kterému se také říká Lorentzův

$ \mathbf{F} = q[\mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}] \, , $

v němž $ v $ je rychlost částice. Tento vztah může být považován za definiční vztah jak pro intenzitu $ \bf E $, tak pro magnetickou indukci $ \bf B $. Je-li elektrické pole nulové, působí na částici jen magnetická síla. Budeme-li místo zkušebního náboje q uvažovat působení magnetického pole na libovolný proud popsaný hustotou $ {\bf j}(r) $ a budeme-li uvažovat sílu působící na nositele proudu v jednotkovém objemu vodiče, dostaneme pro hustotu síly vztah:

$ \mathbf{f}= \mathbf{j}\times\mathbf{B} \, . $

Stejně jako pro elektrostatické pole platí Gaussův zákon, pro libovolné magnetické pole platí Ampérův zákon:

$ \int_l \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0 I \, , $

kde proud $ I $ je určen proudovou hustotou:

$ I = \int_S \mathbf{j} \cdot {\rm d}\mathbf{S} \, . $

Po dosazení a použití Stokesovy věty dostáváme integrální tvar Ampérova zákona:

$ {\rm rot}\, \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} \, . $

Podobně jako pro tok elektrického pole, zavádíme i magnetický tok. Veškerá dosavadní experimentální zkušenost ukazuje, že magnetický tok libovolnou uzavřenou plochou $ S $ je roven nule:

$ \Phi = \int_S \mathbf{B} \cdot {\rm d}\mathbf{S} = 0 \, , $

a tedy

$ {\rm div}\, \mathbf{B} = 0 \, . $

Magnetické pole není zřídlové (neexistují magnetické náboje) ani potenciální. Magnetickou indukci můžeme vyjádřit také pomocí vektorového pole $ A(r) $ vyhovující vztahu

$ \mathbf{B(r)}= {\rm rot}\, \mathbf{A(r)} $

s kalibrační podmínkou

$ {\rm div}\, \mathbf{A(r)} = 0 \, . $

Obecné magnetické pole můžeme spočítat pomocí Biot-Savartova vzorce:

$ \mathbf{B(r)} = {\rm rot}\, \mathbf{A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \frac{\mathbf{j(r)}\times\mathbf{R}}{R^3}\, {\rm d}V \, . $

Magnetická indukce je spojitá všude s výjimkou plochy tělesa S, kde je nenulová hustota proudu $ \bf j $. Při průchodu touto plochou platí pro tečné $ B_t $ a normálové složky $ B_n $ tyto vztahy

$ \mathbf{B_{n1} - B_{n2} = 0} \, , $

$ \mathbf{B_{t1} - B_{t2}} = \mu_0\mathbf{j_s} \, . $

Magnetická intenzita

Intenzita magnetického pole $ \bf H $ se zavádí pomocí Ampérova zákona v látkovém prostředí, který vypadá podobně jako mimo látkové prostředí, pouze s tím rozdílem, že na pravé straně bude vystupovat nejen celkový volný proud $ I $ ale i vázaný proud $ \mathbf{I^{(m)}} $

$ \int_l \mathbf{B}\cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0(I+I^{(m)}) $

K vázanému proudu se dostaneme přes zajímavé zjištění, že magnetické pole vytvořené prostorovým rozložením magnetických dipólů s objemovou hustotou $ {\bf M}(r) $ (vektor magnetizace) v objemu $ V $ je totožné s magnetickým polem vytvořeným objemovými proudy hustoty $ \mathbf{j(r)^{(m)}} $ tekoucími v objemu $ V $ a plošnými proudy hustoty $ \mathbf{j(r)_s^{(m)}} $ tekoucími na ploše $ S $ ohraničující objem $ V $. Platí vztahy:

$ \mathbf{j(r)_s^{(m)}} = \mathbf{M(r)}\times\mathbf{n} $

$ \mathbf{j(r)^{(m)}} = {\rm rot}\, \mathbf{M(r)} \, . $

Pro vázaný proud pak platí

$ \mathbf{I^{(m)}} = \int_S \mathbf{j(r)^{(m)}}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = \int_S {\rm rot}\, \mathbf{M}\cdot {\rm d}\mathbf{S} = \int_l \mathbf{M}\cdot {\rm d}\mathbf{l} \, . $

Poslední vztah dosadíme do Ampérova zákona

$ \int_l (\mathbf{B} - \mu_0 \mathbf{M})\cdot {\rm d}\mathbf{l} = \mu_0 I \, . $

Intenzita $ \bf H $ se pak zavede:

$ \left(\mathbf{B} - \mu_0\mathbf{M}\right) = \mu_0 \mathbf{H} \, , $

nebo tradičně

$ \mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M} \, . $

Intenzita $ \bf H $ má nespojité pouze tečné složky:

$ \mathbf{(H_{1t} - H_{2t})=j_s} \, . $

Materiálové vztahy

Vztah mezi elektrickou indukcí $ \bf D $ a intenzitou $ \bf E $ je obecně dán pomocí tenzoru elektrické susceptibility. Platí

$ \mathbf{D(r)} = \epsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E(r)} \, . $

Teď nastávají různé možnosti, jaké vlastnosti látka může mít:

anizotropní - susceptibilita je tenzor

izotropní - susceptibilita není tenzor

elektricky tvrdá - polarizace není nulová $ \mathbf{P}\neq 0 $

elektricky měkká - polarizace je nulová $ \mathbf{P}= 0 $

nehomogenní - susceptibilita závisí na poloze

homogenní - susceptibilita nezávisí na poloze

s disperzí - susceptibilita závisí na čase

bez disperze - susceptibilita nezávisí na čase

Podobně můžeme charakterizovat látky i co se týče magnetických vlastností

Metody měření elektrických a magnetických veličin

Pro měření v obvodu se stejnosměrným proudem se používají přístroje s otočnou cívkou - jsou dosti citlivé a mají lineární průběh stupnice. Pro měření napětí používáme voltmetry, které zapojujeme paralelně do obvodu. Odpor voltmetru by měl být mnohem větší než odpor obvodu.

Pro měření proudu používáme ampérmetr. Připojujeme sériově. Čím menší odpor ampérmetru, tím lepší.

Pro měření odporu existuje více metod:

Metoda přímá - odpor určíme z Ohmova zákona

Metoda srovnávací - srovnáváme velikost měřeného a přesného odporu. Tyto dva odpory zapojujeme sériově nebo paralelně. Při sériovém zapojení sledujeme úbytek napětí na obou odporech, při paralelním sledujeme proudy, které jimi protékají.

Metoda substituční - zvláštní případ metody srovnávací - zapojíme odporovou dekádu a nastavíme hodnotu odporu tak, aby byla výchylka přístroje stejná pro měřený odpor i pro dekádu.

Metoda můstková - odpor určíme z podmínky rovnováhy můstku

Při měření střídavého napětí a proudu zpravidla určujeme efektivní hodnoty napětí a proudu. Platí:

$ U_{ef}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T U^2(t) dt $

$ I_{ef}^2 = \frac {1}{T}\int_0^T I^2(t) dt $

Speciálně pro sinusový průběh:

$ U_{ef} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 U_{max} $

$ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{max} $

Metody měření magnetických veličin

K měření magnetické indukce můžeme použít několika metod:

- metoda indukční - využívá jevu elektromagnetické indukce: změní-li závit polohu vůči vyšetřovanému magnetickému poli, indukuje se v něm elektromotorické napětí

- metoda Hallovy sondy - využívá Hallova jevu: v kovové desce protékané proudem a v magnetickém poli vznikne elektrické pole

Pro měření hysterezních smyček feromagnetik lze použít tyto metody:

- metoda magnetometrická - založená na silových účincích měřeného magnetického pole na permanentní otočný magnet ( = magnetometr)

- metoda zobrazovací (zobrazení měřené smyčky oscilografem)

Státní závěrečná zkouška