Bakalářská státnice - Metrické prostory

bc. Informatika

Okruh požadavků Základy matematiky

Tato stránka není kompletní a/nebo může obsahovat chyby!

(zdroj: Pultrova Skripta od str. 89)

(viz také: Kalendovy papírky o metrických prostorech)

Definice metrického prostoru, příklady

• Definice metriky (vzdálenosti). (zdroj: Klazarova skripta pro MAIII str.1)
• Příklady metrik (hlavně Euklidovská metrika). (zdroj: Klazarova skripta pro MAIII str.1)
• Definice metrického prostoru. (zdroj: Klazarova skripta pro MAIII str.1)
• Norma. Normovaný lineárny priestor.
• Epsilonové okolí bodu.
• Vnitřní bod. Vnitřek množiny.
• Otevřené množiny.
• Uzavřenost otevřenosti množin na sjednocení a průnik. (zdroj: Klazarova skripta pro MAIII str.3)
• Konvergence, limita.
• Uzavřené množiny.
• Uzavřenost uzavřenosti množin na sjednocení a průnik.
• Uzavřenost doplňková k otevřenosti.
• Vzdálenost bodu od množiny.
• Uzávěr množiny.
• Vlastnosti uzávěru.
• Hraniční bod množiny. Hranice množiny.
• Podprostor.

Spojitost a stejnoměrná spojitost

• Spojitost zobrazení v bodě. Spojité zobrazení. (zdroj: Pultrova Skripta def 2.1 str.91)
• Ekvivalentní tvrzení k spojitosti zobrazení. (zdroj: Pultrova Skripta str.91)
• Stejnoměrně spojité zobrazení. (zdroj: Pultrova Skripta def 2.3 str.92)
• Složení zobrazení zachovává (stejnoměrnou) spojitost. (zdroj: Pultrova Skripta str.92)
• Homeomorfní zobrazení. Stejnoměrně homeomorfní zobrazení. (zdroj: Pultrova Skripta str.92)
• Ekvivalence metrik. Stejnoměrná ekvivalence metrik. Příklady. (zdroj: Pultrova Skripta str.92)
• Aritmetika spojitosti. (zdroj: Pultrova Skripta str.93)

Kompaktní prostory a jejich vlastnosti.

• Definice kompaktního metrického prostoru. (zdroj: Pultrova Skripta str.96)
• Zachování kompaktnosti u podprostorů, součinu prostorů, spojitého zobrazní prostorů. (zdroj: Pultrova Skripta V5.3,V5.4 str.96)
• Omezená množina.
• Podprostor En kompaktní <=> uzavřený a omezený (t.j. má i největší a nejmenší prvek).
• Spojité zobrazení z kompaktního prostoru => stejnoměrná spojitost.

Úplné prostory.

• Cauchyovská posloupnost. (zdroj: Pultrova Skripta def. 6.1 str.97)
• Definice úplného prostoru. (zdroj: Pultrova Skripta def. 6.1 str.97)
• Kdy Cauchyovská posloupnost konverguje? (musí mít konvergující podposloupnost)
• Kdy je podprostor úplého prostoru úplný? (původní musí být uzavřený)
• Zachování úplnosti u součinu prostorů.
• Banachova věta o pevném bodě. (zdroj: wikipedie)