Bakalářská státnice - Determinanty
bc. Informatika | ||
|
V lineární algebře je determinant zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A.
Determinantem čtvercové matice řádu n nazýváme součet všech součinů n prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom násobíme čísly r a s, kde r představuje znaménko příslušného pořadí prvních indexů a s znaménko příslušného pořadí druhých indexů.
Obsah
Všeobecná definice a výpočet[editovat | editovat zdroj]
Nechť $ A = (a^i_j) $ je čtvercová matice.
Matice řádu 1[editovat | editovat zdroj]
Pokud A je matice 1×1, je
$ det A = a^1_1 $
Determinant matice prvního řádu je tedy roven hodnotě jediného prvku této matice.
Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]
Pokud A je matice 2×2, je
$ det A = a^1_1 a^2_2 - a^2_1 a^1_2 $
Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]
Pro matici A typu 3×3 je vzorec složitější:
$ det A = a^1_1 a^2_2 a^3_3 + a^1_3 a^2_1 a^3_2 + a^1_2 a^2_3 a^3_1 - a^1_3 a^2_2 a^3_2 - a^1_1 a^2_3 a^3_2 - a^1_2 a^2_1 a^3_3 $
Mnemotechnická pomůcka sloužící k zapamatování postupu výpočtu determinantu třetího řádu se nazývá Sarrusovo pravidlo.
Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]
Pro obecnou matici n×n determinant definoval Gottfried Leibniz pomocí Leibnizova vzorce:
$ det A = \sum_{\sigma=S_n}sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n a^i_{\sigma(i)} $
Suma se počítá přes všechny permutace σ čísel {1,2,…,n} a sgn(σ) značí znaménko permutace σ: +1, pokud σ je sudá permutace, a −1, pokud je lichá.
Tento vzorec obsahuje n! (faktoriál) sčítanců, což jej s růstem n rychle činí prakticky nepoužitelným pro výpočet. V praxi se proto používají jiné způsoby výpočtu. Obecný vzorec lze také vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $ \epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} $jako
$ det A = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{1 j_1}a_{2 j_2} ... a_{n j_n} = \sum_{{j_1},{j_2},...,{j_n}}\epsilon_{{j_1}{j_2}...{j_n}} a_{j_1 1}a_{j_2 2} ... a_{j_n n} $
Postupy výpočtu[editovat | editovat zdroj]
Gaussova eliminace[editovat | editovat zdroj]
Gaussova metoda spočívá v provedení takových úprav matice, které nemění hodnotu determinantu, ale zjednoduší výpočet jeho hodnoty. Cílem prováděných úprav je získat trojúhelníkovou matici A (tedy pro i > j je $ a^i_j = 0 $), neboť platí
$ det A = a^1_1 a^2_2 ... a^n_n $,
tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků hlavní diagonály matice.
Při úpravách matice pro výpočet determinantu postupujeme podle těchto pravidel:
- Pokud B vznikne z A výměnnou dvou řádku nebo sloupců potom $ det B = -det A $
- Pokud B vznikne z A vynásobením řádku nebo sloupce skalárem c, potom $ det B = c.det A $
- Pokud B vznikne z A přičtením násobku jednoho řádku k jinému, nebo přidáním násobku sloupce k jinému sloupci potom $ det B = det A $
Opakovaným použitím uvedených pravidel převedeme matici na matici trojúhelníkovou a pro tu poté snadno spočteme determinant.
Minor[editovat | editovat zdroj]
Mějme čtvercovou matici $ A_{ij} $, kterou získáme z matice A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant matice $ A_{ij} $, tzn. $ det A_{ij} $ nazýváme subdeterminantem (též minorem) příslušným k prvku $ a_{ij} $ matice A.
Algebraickým doplňkem nebo také kofaktorem nazýváme číslo $ A_{ij} = (-1)^{i+j}det A_{ij} $
Výpočet determinantu rozvojem podle řádků (sloupců)[editovat | editovat zdroj]
Algebraický doplněk lze použít k výpočtu determinantu n-tého řádu. Pro libovolné (pevně dané) i lze determinant matice A vyjádřit pomocí algebraických doplňků jako
$ det A = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} $
Tento postup je označován jako rozvoj (rozklad) determinantu podle i-tého řádku. Ekvivalentně lze determinant vyjádřit rozvojem (rozkladem) podle j-tého sloupce.
Geometrický význam determinantu[editovat | editovat zdroj]
Matice řádu 2[editovat | editovat zdroj]
Matice 2×2
$ A = \begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix} $
má determinant
$ det A = ad - bc $.
Jeho absolutní hodnotu lze interpretovat jako obsah rovnoběžníku s vrcholy v bodech (0,0), $ a_1=(a,c) $ $ a_2 = (b, d) $ a $ (a+b, c+d) $. Znaménko determinantu určuje vzájemnou orientaci vektorů $ a_1 $ a $ a_2 $. det A je kladný, pokud úhel mezi vektory $ a_1 $ a $ a_2 $ měřený v kladném směru (tedy proti směru hodinových ručiček) menší než π, a záporný, pokud je tento úhel větší než π.
Matice řádu 3[editovat | editovat zdroj]
Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 najdeme i pro matice $ B = (b^i_j) $ řádu 3. Řádkové vektory
$ b_1 = (b^1_1, b^1_2, b^1_3), b2 = (b^2_1, b^2_2, b^2_3), b3 = (b^3_1, b^3_2, b^3_3) $
určují v třídimenzionálním prostoru rovnoběžnostěn, jehož objem je roven |det B|. Pokud je det B kladný, tak je posloupnost vektorů $ b_1, b_2, b_3 $ pravotočivá, a levotočivá, pokud je det B záporný.
Matice vyšších řádů[editovat | editovat zdroj]
I v reálných prostorech vyšších řádů lze determinant chápat jako objem obecného n-rozměrného rovnoběžnostěnu, případně jako pravotočivost, respektive levotočivost posloupnosti $ b_1, b_2, ..., b_n $.
Pravotočivá a levotočivá soustava prostorových kartézských souřadnic[editovat | editovat zdroj]
Představte si, že v místě, kde stojíte, je počátek prostorové kartézské soustavy. Osa x nechť směřuje přímo vpřed (směrem, kterým se díváte), osa y nechť směřuje vlevo a osa z nechť směřuje vzhůru. Taková soustava se nazývá pravotočivá souřadná soustava.
Zaměníme-li osy x a y, získáme souřadnou soustavu levotočivou.
Obvykle se pracuje s pravotočivou souřadnou soustavou.
Inverzní matice k dané matici je taková matice, která po vynásobení původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.
Inverzní matici k matici A značíme $ A^{-1} $.
Vynásobením matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.
$ A.A^{-1} = A^{-1}.A = 1 $
kde 1 je jednotková matice.
Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.
Výpočet inverzní matice[editovat | editovat zdroj]
Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gaussova eliminace podle následujícího postupu:
- Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat a jednotkovou matici.
- Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby:
- záměna řádků
- vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem)
- přičtení jednoho řádku k jinému
- Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici.
- Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.
Pro zvýšení numerické přesnosti se pří faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.
Cramerovo pravidlo[editovat | editovat zdroj]
Cramerovo pravidlo je metoda umožňující nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.
Postup[editovat | editovat zdroj]
Mějme soustavu lineárních rovnic, která obsahuje stejný počet neznámých jako je počet rovnic. Označme matici soustavy A. Dále označme $ A_i $jako matici, kterou získáme z matice A, nahradíme-li v ní i-tý sloupec sloupcem pravých stran soustavy rovnic.
Pokud zapíšeme matice soustavy a vektor pravých stran jako
$ A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\... & ... & ... & ...\\a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $ $ B=\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\... \\b_m \end{pmatrix} $
pak má tvar
$ A_i= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1,i-1} & b_1 & a_{1,i+1} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2,i-1} & b_2 & a_{2,i+1} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{m,i-1} & b_m & a_{m,i+1} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} $
Pokud je determinant matice soustavy nenulový, $ det A \neq 0 $, tzn. matice je regulární, pak má soustava právě jedno řešení, pro které platí
$ x_i = \frac{det A_i}{det A} $
pro i = 1,2,...,n.
Příklad[editovat | editovat zdroj]
Úkolem je řešit soustavu rovnic
$ x + y = 3 $ $ x - 2y = 1 $
Determinant matice soustavy je
$ det A = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -3 $
Poněvadž je $ det A \neq 0 $, lze použít Cramerovo pravidlo.
Dále určíme
$ det A_1 = \begin{vmatrix}3 & 1 \\ 1 & -2\end{vmatrix} = -7 $ $ det A_2 = \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -2 $
Řešení má tedy tvar
$ x = \frac{det A_1}{det A} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3} $ $ y = \frac{det A_2}{det A} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} $
Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.
Odkazy[editovat | editovat zdroj]
Definice a základní vlastnosti determinantu.[editovat | editovat zdroj]
- Definice permutace a znamínka permutace (kvůli dalším definicím). (zdroje: Pultrova skripta X.1.7 a X.1.10 / Tůmovy skripta, kap. 9 / wikipedie a wikipedie)
- Definice determinantu. (zdroje: Pultrova skripta X.2.1 / wikipedie)
- Determinant po transpozici a po permutaci. (zdroj: Pultrova skripta X.2.3)
- Determinant s 2 stejnými řádky / sloupci. (zdroj: Pultrova skripta X.2.3.důsledek)
- Determinant jako lineární funkce každého řádku své matice. (zdroj: Pultrova skripta X.2.4)
- Přičtení lineární kombinace řádků (sloupců) k řádku (sloupci). (zdroj: Pultrova skripta X.2.5)
- Determinant trojuholníkové matice. (zdroj: Pultrova skripta X.2.6)
Úpravy determinantů, výpočet.[editovat | editovat zdroj]
- Úpravy determinantů, výpočet. (zdroj: Pultrova skripta X.2.7)
Geometrický smysl determinantu.[editovat | editovat zdroj]
- Determinant a objem rovnoběžnostěnu. (zdroje: Pultrova skripta X.5.4 / wikipedie)
- ON matice zachovává vzdálenosti bodů. (zdroj: Pultrova skripta X.5.2)
- K regulérní matici existuje ON matice, že po vynásobení dají trojuhelníkovou. (zdroj: Pultrova skripta X.5.3)
Minory a inversní matice.[editovat | editovat zdroj]
- Definice minoru (a algebraického doplňku). (zdroje: Pultrova skripta X.3.1 / wikipedie)
- Determinant matice při nahrazení řádku (sloupce). (zdroj: Pultrova skripta X.3.2)
- Výpočet determinantu pomocí minorů. (zdroje: Pultrova skripta X.3.3 / wikipedie)
- Výpočet inversní matice pomocí minorů. (zdroj: Pultrova skripta X.3.4)
Cramerovo pravidlo.[editovat | editovat zdroj]
- Cramerovo pravidlo na výpočet soustavy. (zdroje: Pultrova skripta X.3.5 / wikipedie)