Brownův pohyb, difuze ve vnějším poli

Úvod

• Brownův pohyb = náhodný pohyb částic rozptýlených v kapalině či matematický model popisující náhodné pohyby
• matematický model má mnoho aplikací - například fluktuace na burze akcií
• nejjednodušší ze stochastických (náhodných) procesů - limit náhodné procházky a Donskerova teorému, univerzálnost \sim univerzalitě normálního

rozdělení

• Einstein (1905) a Smoluchowski (1906) - řešení Brownova pohybu k potvrzení existence atomů a molekul -> že Brownův pohyb v médiu v TD teplotě T je charakterizován difuzním koeficientem: $ D=\frac{k_B T}{b} $, (kde b - odporový součinitel) a kvadratická výchylka částice v libovolném směru je \sqrt

{2Dt}

• experimenty -> výchylky 4-6x větší než předpověď
• Einstein - že pohyb předpovězen z kinetickéh modelu tepelné rovnováhy -> potvrdilo to, že vysvětlení 2VTD pomocí kinetické teorie je základní statistický

zákon

Experimenty

• Gouy zjistil:
  • pohyb nepravidelný, translace a rotace -> Wiener 1923, že body Brown.trajektorie všude spojité
  • 2 částice se zdají pohybovat nezávisle i když se přiblíží víc než na svůj průměr
  • menší částice -> aktivnější
  • složení a hustota částic nemá efekt na pohyb
  • méně viskozní kapaliny -> aktivnější
  • vyšší teplota -> aktivnější
  • pohyb se nikdy nezastaví

1.vysvětlení

• zákon zachování hybnosti při kolizi atomů $ \frac{1}{2}m <v^2>=\frac{3}{2}k_B T $ - makroskopické částice (typicky $ 10^-6 $) M, V a oklní částice m, v -> srážkou

se změní $ \Delta $ v -> změna $ \frac{m}{M}V $

• -> pozorovaný pohyb o 2 řády větší
• -> že jako obří atom $ \frac{1}{2}M <\dot{s^2}>=\frac{3}{2}k_B T $ -> moc velká rychlost vůči pozorvané - neboť ekvipartiční teorém jen když čas mezi pozorováními $ \sim $ času mezi kolizemi

Einstein

• 1905
• náhodná procházka + Maxwell-Boltzmanovo rozdělení -> částice v kapalině když dostane úder díky srážce s molekulou -> změní se její rychlost, ale u viskozní kapaliny tak se rychlost rychle disipuje a celkovým výsledkem srážky je výchylka částice -> kumulativním efektem jsou náhodné skoky v pozici - vzal jako malé -> diferenciální rovnice
• že střední kvadratická výchylka se zvětšuje lineárně s časem
• že v rovnováze Maxwellovské rozdělení rychlostí -> konstannty v řešení jako funkci T a viskozity
• experimentálně potvrzeno 1908

Fokker-Planckova rovnice = Smoluchowskiho rovnice

• Odvození:
  • f Brownovských částic na 1V (=reprezentativní body realizace náhodné veličiny popisující Brownův pohyb) rozptýlených v kapalině v $ \vec{r}+\vec{r}+d\vec{r} $ v čase t a jsou vystaveny vnější síle $ \vec{K}=-grad U(\vec{r}) $, U- potenciál
  • díky vlivu $ \vec{K} $ přechází v objemu $ \nu $ s hranicí S driftový proud částic S (Gaussova věta): $ \frac{\part}{\part t} \int_{\nu} f(\vec{r},t)d\nu= - \int_S \vec{J_d}.\vec{n}dS=-\int_{\nu}div \vec{J_d} d \nu $
  • + rovnice kontinuity: $ \frac{\part f}{\part t}+ div \vec{J_d}=0 $ = zákon zachování reprezentativních bodů -> driftový proud $ \vec{J_d}-f \vec{v_d} $, $ \vec{v_d} $ - driftová rychlost částice
  • + předpoklad $ \vec{K}-\xi \vec{v_d}=0 $ -> $ \vec{J_d}=f \frac{\vec{k}}{\xi}= - \left( \frac{f}{\xi} \right) gradV $ => $ \vec{J_d}=-\left( \frac{f}{\xi}\right) grad V $, kde $ \xi $ - odporový součinitel částice, $ \xi \vec{v_d} $ - odpor viskozity
  • + tepelný pohyb částice - difuzní člen $ \vec{J_{diff}}=-D grad f $, $ D=\frac{kT}{\xi} $ - koeficient difuze
  • =>dosazení do rovnice kontinuity -> Smoluchowskiho rovnice: $ \frac{\part f}{\part t}= D div [grad f+ f grad \frac{V}{kT}] $ - popisuje vývoj f v konfiguračním prostoru, říká, že rozdělení rychlostí dosáhne statistické rovnováhy což je Maxwellovské rozdělení
• Klein - Kramersova rovnice: $ \frac{\part f}{\part t}+ \vec{v} grad_r f- \frac{1}{m}grad_v f. grad_r v= \frac{\xi}{m}[div_v(\vec{r}f)+\frac{kT}{m}\nabla_v^2 f] $ - popisuje evoluci hustoty $ f(\vec{r}, \vec{v}, t) $ reprezentativních bodů ve fázovém prostoru $ (\vec{r}, \vec {v}) $

Odvození střední kvadratické výchylky částic, Difuze ve vnějším poli

• z Langevinovy rovnice (viz. otázka Langevinova rovnice)
• Einstein
  • -> každá individuální částice se pohybuje nezávisle na ostatních
  • -> pohyb částice v jednom konkrétním okamžiku je nezávislý na pohybu částice v jiném okamžiku, je-li časový interval dost dlouhý
  • vezme dost dlouhý časový interval $ \tau $ (aby nezávislé na pohybu v čase t+ $ \tau $) , ale malý vůči době mezi pozorováními
  • ....-> střední kvadratická výchylka: $ \sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt} $
  • -> $ \tau \frac{\part f}{\part x^2}= \frac{1}{2} \frac{\part f}{\part x^2} \bar{\Delta^2} $ a $ D=\frac{1}{2 \tau}\bar{\Delta^2} $ (D-translační difuzní koeficient) => $ \frac{\part f}{\part t}=D \frac{\part^2 f}{\part x^2} $ =difuzní rovnice v 1D pro malá $ \Delta $ - řešením - že všechny částice na začátku blízko sebe (x=0, t=0)
  • řešení difuzní rovnice: $ f(x,t)= \frac{1}{\sqrt{4 \Pi D t}} e^{\frac{-x^2}{4Dt}}, \infty < x < \infty $
  • střední kvadratická výchylka částice v x směru: $ \sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt} $ a $ \bar{r^2}=\bar{3x^2} $
• difuzní koeficient D: částice jsou v poli síly $ \vec{K}(x) $ (např.gravitační pole), Maxwell-Boltzmanovské rozdělení poloh částic $ f=f_0 e^{\frac{-V}{kT}} $

Aplikace teorie Brownova pohybu v potenciálu

• VA charakteristiky Josephsonova přechodu
• dielektrická a Kerr-effect relaxace v kapalinách a v molekulárních a nematických kapalných krystalech
• pohyblivost superionizovaných vodičů
• šířky čar v NMR
• nekoherentní rozptyl pomalých neutronů
• termalizace $ n^0 $ v moderátoru z těžkého plynu
• únik částic přes potenciálové bariéry
• magnetická relaxace feromagnetické částice s 1 doménou (superparamagnetismus)
• dynamika polymerů