Geoid, gravitační anomálie a jejich vztah k hustotní struktuře Země

Geoid

rovnice geoidu

$ U(r,\theta,\lambda)=U_0 $

$ U_0=62 636 857 m^2s^{-2} $

$ g=grad U $

rovnice sferoidu

$ V(r,\theta,\lambda)=U_0 $

$ U_0=62 636 857 m^2s^{-2} $

$ \gamma=grad U $

gamma představuje normálové gravitační zrychlení

$ U_0=V=\frac{GM}{r}\left[1+\frac{1}{2r^2}\frac{C-A}{M}(1-3sin^2\theta)+\frac{\omega^2r^3}{2GM} cos^2\theta\right] $

$ r=\frac{GM}{U0}\left[1+\frac{K}{2r^2}(1-3sin^2\theta)+\frac{\omega^2r^3}{2GM} cos^2\theta\right] $

kde K = (C-A)/M

z této rovnice chceme zjistit zploťování Země - alfa. Nechť r=a, pak

$ r=\frac{GM}{U0}\left[1+\frac{J_2}{2}+\frac{q}{2}-(3/2J_2+q/2)ssinin^2\theta\right] $

kde je zavedeno

$ J_2=\frac{K}{a^2}=\frac{C-A}{Ma^2},\,q=\frac{\omega^2a^3}{GM} $

a J2 je Stokesův koeficient.Parametr q je zase podíl dostředivého zrychlení na rovníku proti gravitačnímu.

J2 = 0.001 a q=0.003

pak se dá napsat zploštění Země

$ \alpha = 3/2J_2+q/2 $

a

$ r=a(1-\alpha sin^2\theta) $

to je rovnice sferoidu.

A alfa

$ \alpha =\frac{a-c}{a} $

Pak máme ještě normálovou gravitaci:

$ \gamma =\frac{GM}{r^2}+\frac{3G(C-A)}{2r^4}(1-3sin^2\theta)-\omega^2r(1-sin^2\theta) $

zjednodušene můžeme psát

$ \gamma =\gamma_e(1+\beta sin^2\theta) $

$ \gamma_e =\frac{GM}{a^2}(1+3/2J_2-q) $

$ \beta =2\alpha-9/2J_2+q $

kde gamma_e je rovníkové zrchlení

Clairautův teorém

$ \alpha+\beta=5/2 q $

twn se používá na praktické zjištění zploštění Země (beta a q se dá spočítat)

Geoid a sferoid

rozdíly max 100 m Brunův teorém

$ N=\frac{T(P)}{\gamma(Q)} $

rozdíl mezi geoidem a sferoidem N se dá spočítat z podílu distribučního potenciálu (satelitní měření) a normálového zrychlení.

Základní rovnice geodézie

$ \frac{\partial T(P)}{\partial n(P)}-\frac{T(P)}{\gamma(Q)}\frac{\partial \gamma(Q)}{\partial n(Q)}-[g(P)-\gamma(Q)] = 0 $

a z toho zdánlivá gravitační odchylka

$ \Delta g = g(P) - \gamma(Q) $

Gravitační anomálie

regionální a residuální (lokální)

• regionální sleduje trendy obecné
• používají se pro zjišťoivání hlubokých struktur
• residuální se týkají mělkých struktur
• regionální se získají zhlazením anomálního pole
• Griffinova metoda - regionální anomálie je průměnou hodnotou anomálie na jistém kruhu