Základy kvantové teorie pevných látek se zaměřením na elektronovou strukturu a dynamiku elementárních excitací

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#2. Kvantová teorie molekul a pevných látek

Začněme slovy "Mám materiál s pásovou strukturou". Není třeba příliš rozebírat, proč a jak pásy vznikají, stačí zmínit, že je to důsledek mnohačásticové interakce elektronů mezi sebou.

Přímý a reciproký prostor

Přímý prostor značíváme x-prostor nebo též r-prostor. Reciproký pak k-prostor.

Translační vektor (v r-prostoru): lze jej vyjádřit jako lineární kombinaci bázových translačních vektorů.

Reciproké bázové vektory lze definovat např.: b_i=Ω₀ a_j x a_k, kde $ \Omega $ ₀ = objem primitivní buňky = a₁∙a₂×a₃ a indexy j a k nabývají následujících hodnot:

1. pro i=1 je j=2 a k=3
2. pro i=2 je j=3 a k=1
3. pro i=3 je j=1 a k=2

Takto zadefinované b_i splňují

1. b_i∙a_j∈Z
2.  ???b_g∙a_n=g_nn_jb_i∙a_j

Protože potenciál v krystalu je translačně symetrický (V(r+a)_n=V(r)), lze jej rozložit do Fourierovy řady V(r)=Σ_b∈"3D"V_be^{-2πi b∙r}, kde V_b=∫_ΩV(r)e^{2πi b∙r}d³r; Ω = objem krystalu.

Označení bodů

http://www.theochem.unito.it/crystal_tuto/mssc2008_cd/tutorials/barebone/gamma_c_f.jpg

Blochova věta a Blochovy funkce

Říká, že v periodickém krystalu jsou vhodnými vlnovými funkcemi pro popis stavu elektronu Blochovy funkce:

Periodický krystal => Ψ_{_k,n}(r) = e^{i k∙r} u_k,n(r), kde u(r) je rychle oscilující část. k je vlnový vektor elektronu a n pásový index. u je translačně symetrická: U(r+a_i)=u(r) pro každý bázový vektor a_i.

Do nečasové SR dosadíme tuto Blochovu funkci, zleva vynásobíme faktorem e^-ik*r a přeintegrujeme přes celý prostor, čímž získáme PDR pro u(r). Na její levé straně je výraz [E(k)-ℏ²k²/2m₀]u_k(r).

Brillouinova zóna (BZ)

Pokud k zmenšujeme o b_j na nejmenší možnou velikost, dostaneme k'=k-b_j. Označíme u_k(r)=e^2πib_j*ru_k'(r). Tímto postupem je možné rychle oscilující část komplexní exponenciely stojící před u v definici Blochovy funkce zahrnout do funkce u. Pokud již k nelze tímto způsobem zmenšit, říkáme, že tento vlnový vektor leží v první Brillouinově zóně. Její hranice tedy je |r∙b_i|<π. Objem první BZ = (2π)³ b₁∙ b₂×b₃=(2π)³/Ω₀.

Pokud dále požadujem platnost Born-Karnánových okrajových podmínek (tj. Ψ(r+G_ja_j)=Ψ(r), kde G_ja_j je velikost celého krystalu), pak obdržíme k∙a_j=2π/G_j g_j, tedy, že k je kvantováno.

Vodivostní a valenční pás; elektrony a díry

Pásová struktura => existují valenční (poslední obsazený při T = 0 K) a vodivostní (první neobsazený při T = 0 K) pás. Plně obsazení ani zcela prázdný pás nemohou přispívat k elektrické vodivosti. Mezi nimi je zakázaný pás. I vodivostní pás je někde nahoře zakončen, ale toto zakončení bývá tak vysoko, že nás téměř nikdy nezajímá. Fermiho energie odděluje stavy obsazené od neobsazených při T = 0 K => při absolutní nule je polovodič úplně nevodivý (má nekonečně velký elektrický odpor). Polovodič: ↑T=>↓R. Kov: naopak.

Díra: má zápornou efektivní hmotnost. Je nositelem kladného proudu. Elektron padá na dno vodivostního pásu; díra bublá na vrcholek valenčního pásu.

Ve chvíli, kdy odebereme elektron s v_x<0 z valenčního pásu, je elektron s opačnou rychlostí nekompenzován. Máme zde tedy "díru" s v_x<0. Lorentzova síla na díru působí shodně, jako na kladný náboj. Vlnový vektor díry je až na znaménko shodný s vlnovým vektorem odebíraného elektronu. Stejně tak hmotnost díry je záporná.

Tenzor efektivní hmoty

Protože nás téměř nikdy nezajímá přesný průběh funkce u, ale skoro vždy chceme vědět co nejvíce o energetickém spektru. K tomuto bych poznamenal, že „V souvislosti s tím je dobré si uvědomit, že koneckonců exaktní řešení je nejen nemožné, ale i nežádoucí. Přesná vlnová funkce by byla tak komplikovaná a obsahovala by takové množství zbytečných informací, že bychom z ní to málo, co nás v konkrétním případě zajímá, získávali jen velice obtížně. Dobré aproximativní metody musí být proto vytvořeny tak, aby zjednodušily problém právě na úkor tohoto nežádoucího balastu.“. Energii rozvineme do Taylorovy řady, konstantní člen BÚNO položíme roven nule; člen s prvními derivacemi taktéž (protože budeme vyšetřovat rozvoj v okolí Γ bodu, což bývá (možná je vždy) lokální minimum): $ E(k)=E(k')+\frac{1}{2} Σ \frac{∂^{2}E}{∂k_{i} ∂k_{j}} |_{k=k'} (k_{i}-k'_{i})(k_{j}-k'_{j})+... $ Podíváme se blíže na ∂²E/∂k_i∂k_j|_k=k': toto je tenzor 2. řádu, který označíme symbolem ℏ²(m^-1)_ij a nazveme tenzorem reciproké efektivní hmotnosti.

Hustota stavů

Lze obecně odvodit, že g(E) ~ E^(d-2)/2, kde d = počet dimenzí g(E) = dN/dE = #stavů/rozpětí energií [# = počet]

3D: ΔN ~ 4πk²Δk, E=ℏ²k²/2m => dE = ℏ²/m k => ΔE = ℏ²/m k Δk. Proto dN/dE ~ k ~ √E
2D: ΔN ~ 2πkΔk => dN/dE = konst
1D: ΔN ~ Δk => dN/dE ~ 1/k ~ 1/√E. Protože singularita je "pouze" 1/√E, máme při integrování konečný # stavů. Nezapomeňme, že když E=E(k) je parabola, tak výsledek musíme vynásobit dvěma, protože příspěvek jsme počítali pouze pro k>0 a "zapomněli" jsme započítat příspěvek s k<0 
Pozor: v různých dimenzích má g(E) různé jednotky!!! A ještě tuto hustotu stavů mžeme vynásobit dvojkou kvůli spinu